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Desde a década de 90 do século passado que o tema da resolução de problemas tem sido considerado, de forma explícita, como um contexto de aprendizagem propício ao desenvolvimento do raciocínio dos alunos. Neste artigo pretendo evidenciar como a escolha de alguns problemas pode contribuir para que se desenvolva a temática do pensamento algébrico.

Vou partir de um enunciado, adaptado de um excelente livro de Vivien Lucas, intitulado "Um Problema por Dia"*, cujo texto é o seguinte: "A Letícia Triângulo estava a aprender a tocar piano. Decidiu praticar durante 5 minutos no 1º dia, 15 minutos no 2º dia, 25 minutos no 3º dia e assim sucessivamente." (p. 93).

Qual o dia que ela começou a praticar mais de metade do dia?

* - Lucas, V. (2003). Um Problema por Dia. Lisboa. Replicação.

Este problema obriga a que se relacione o número do dia, em termos de números ordinais, e o tempo gasto a treinar piano:

1º dia - 5 minutos

2º dia - 15 minutos

3º dia - 25 minutos

Além disto, teremos de calcular quantos minutos estão implícitos em metade do dia, isto é, em 12 horas. Ora 12 x 60 = 720 minutos. É este o tempo de treino correspondente a metade de um dia.

Uma tabela poderá ajudar a sistematizar o que se conhece:

Tendo em conta a tabela anterior seria desejável que me contexto de sala de aula os alunos concluíssem que o 4º dia já implicava 5 + 3 x (2 x 5) minutos, isto é, 35 minutos de treino de piano.

Dando continuidade a outros exemplos, facilmente se chega à lei geral em que o número do dia (d) é igual à soma de 5 com o produto de o número de…

"Ao entrar em um café movimentado, você provavelmente verá pessoas conversando e gesticulando. Um homem no balcão indica o café que deseja ─ xícara média, ─ e suas mãos assumem um formato familiar, mostrando o tamanho da xícara. Ao lado dele, duas irmãs riem. Enquanto uma delas conta uma história sobre sua viagem a Fernando de Noronha e todos os peixes que viu nos mergulhos que fez, suas mãos sacodem e se movem rapidamente no mar invisível à sua frente. O instinto de gesticular acompanhando a fala é fundamental para a natureza humana.

Se você já questionou o porquê dos gestos, provavelmente pensou que gesticulamos para auxiliar na compreensão do que estamos querendo dizer. Indicar o tamanho de uma xícara ou a dose de uma bebida pode ajudar o balconista a entender exatamente o que você deseja. Mostrar onde o peixe se escondeu ou a velocidade com que ele se movimentou pode ajudar a amiga a criar uma imagem mais exata da sua percepção dos recifes locais.

Mas, será que os gestos podem ter também outra finalidade? Muitos cientistas acreditam que os gestos podem ajudar o interlocutor e os movimentos das mãos ajudam a pensar. Cientistas se interessam cada vez mais pela relação corpo-pensamento, ou como nosso corpo dá forma a processos mentais abstratos. Os gestos estão no centro dessa questão. O debate se concentra no papel do movimento na aprendizagem, e nas pesquisas sobre como os alunos aprendem a resolver problemas de matemática na sala de aula.



A titulo de ilustração, considere o problema da soma: 3 + 2 + 8 = _ + 8. Um aluno pode criar uma forma de “v”, com o indicador e o dedo médio, entre os algarismos 2 e 3, enquanto tenta entender o conceito de “agrupamento”, somando os números adjacentes, técnica que pode ser usada para resolver o problema.

Pesquisas anteriores mostraram que quando foi solicitado aos alunos para gesticular enquanto conversassem sobre problemas, aprenderam a resolvê-los de forma mais eficiente. Isso foi verificado, independentemente de se dizer aos alunos quais gestos fazer ou se os gestos eram espontâneos.Agora a questão é: como isso acontece? O novo estudo, conduzido por Susan Goldin-Meadow e Zachary Mitchell, da University of Chicago, e por Susan Wagner-Cook, da University of Iowa, teve como foco a resolução de problemas matemáticos por alunos de terceira e quarta séries do ensino

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"Pesquisadores investigam a complexa relação entre esforço, motivação e cognição; aparentemente, nosso cérebro confunde facilidade em ler instruções sobre tarefas com a simplicidade de sua execução"

por Wray Herbert

REPRODUÇÃO "O cartunista americano Rube Goldberg (1883-1970) ficou conhecido por ser o criador das “máquinas de Goldberg”. Cada uma de suas invenções cômicas mostrava um conjunto de instruções complexas para realizar o que deveria ser uma tarefa cotidiana simples. Seu “guardanapo automático”, por exemplo, apresentava 13 passos sequenciais, envolvendo um papagaio, um acendedor de charutos, um foguete e uma foice – junto com diversos elásticos, tiras e pêndulos. As charges se tornavam engraçadas porque, com bom humor, cutucavam uma ironia fundamental da psicologia humana: não raro, as pessoas tendem a tornar tarefas simples mais complicadas do que o necessário. Na realidade, o oposto, em geral, também é verdadeiro: as confusas regras de “como fazer” de Goldman podem nos fazer rir, mas também nos deixam exaustos. Se for necessário fazer tudo aquilo para usar um guardanapo, por que tentar? Alguns psicólogos estão muito interessados em descobrir mais sobre a complexa relação entre esforço, motivação e cognição – a facilidade com a qual pensamos sobre tarefas. É possível que a simplicidade (ou complexidade) com a qual uma atividade é descrita e processada, de fato, afete nossa atitude com relação a essa atividade e, por fim, nossa vontade de realizá-la. Dois psicólogos da Universidade de Michigan, em Ann Arbor, nos Estados Unidos, decidiram investigar essa ideia em laboratório. O desafio de Hyunjin Song e Norbert Schwarz era conseguir motivar um grupo de universitários de 20 anos a praticar atividade física regularmente. Eles deram instruções escritas aos voluntários para que estabelecessem uma rotina com exercícios regulares, mas utilizaram um método para tornar as orientações de “como fazer” cognitivamente agradáveis ou desafiadoras: alguns alunos receberam as instruções escritas com a fonte Arial, plana e desenvolvida para facilitar a leitura; outros receberam em fonte Brush, que, basicamente, parece letra manuscrita com um pincel japonês, o que dificulta a leitura. Depois que os alunos haviam lido as instruções, os pesquisadores perguntaram a eles, por exemplo, quanto tempo acreditavam que

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"Pesquisas mostram efeito de atividades físicas sobre habilidades intelectuais"

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Os psicólogos cognitivos estudam os processos cognitivos que as pessoas usam para resolver problemas e procuram compreender o que distingue um bom solucionador dos demais.

Todos nós ao longo da vida passamos por diversas situações em que cremos que estamos diante de um impasse, desde aqueles que perpassam nosso cotidiano e logo percebemos como proceder até aqueles que requerem grande esforço psíquico para serem solucionados. Um problema só existe quando não somos capazes de recuperar rapidamente uma resposta em nossa memória e os psicólogos cognitivos mapearam sete etapas ótimas para se resolver problemas de maneira eficiente. São elas:

Identificação do problema: A identificação do problema é fundamental para não falharmos na solução do mesmo. Algumas vezes não conseguimos identificar o nosso problema e todo nosso percurso para solucioná-lo fica obstruído, como por exemplo: “necessitamos ficar fora do caminho de um carro que se aproxima, mas não conseguimos observá-lo” (Sternberg).

Definição e representação do problema: depois que identificamos a existência de um problema temos que defini-lo e representá-lo. Se você representar mal seu problema não conseguirá vislumbrar melhores caminhos para solucioná-lo. Esta etapa é tão importante que os bons solucionadores gastam mais tempo aqui do que formulando uma estratégia.

Formulação da estratégia: você pode escolher uma estratégia de análise ou de síntese. A estratégia de análise decompõe um problema complexo em partes mais simples. A estratégia de síntese organiza os elementos de um problema em uma totalidade útil. Você ainda pode utilizar o pensamento divergente e o convergente. No pensamento divergente tentá-se formular soluções alternativas para o problema proposto e no pensamento convergente procura-se reduzir as possibilidades até chegar a uma única solução.

Organização da informação: Nesta etapa você organiza a informação disponível para colocar sua estratégia em prática. Antes de escrever um texto, por exemplo, você pode fazer um esquema do que você pretende escrever ou dos seus argumentos.

Alocação de recursos: Aqui você verifica quais recursos têm para resolver um problema e como utilizá-los. Os melhores solucionadores de problemas, os expertos e os bons alunos dedicam mais tempo no planejamento global, na visão geral do problema enquanto os iniciantes e os piores estudantes tendem a gastar tempo no planejamento dirigido aos detalhes. Os melhores estudantes gastam mais tempo decidindo como resolver um problema do que efetuando uma possível solução e isso evita falsos inícios e frustração.


Monitoração: Os bons solucionadores de problemas monitoram o percurso escolhido para resolver

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Muitas são as estratégias que se poderão usar na resolução de problemas. Contudo, a escolha mais adequada das estratégias depende sempre do tipo de problema que se pretende resolver. Para a reflexão desta semana apresento um determinado tipo de problemas - problemas de processo - que para a sua resolução sistematizada convém que se decomponham os problemas nas suas partes constituintes.

Imagine-se desafiado a identificar todos os triângulos que é possível encontrar neste pentagrama:

Ao tentar dar resposta a este desafio encontrará, certamente, dificuldades na identificação de todos os triângulos, pois trata-se de uma figura que contempla muitas figuras desse tipo.

Um bom registo ajudará a estruturar o raciocínio. Além disto, como há vários tipos de triângulos, se a nossa atenção incidir num tipo de triângulo de cada vez, isso poderá ajudar na resolução da globalidade do problema.

De facto, problemas desta natureza exigem que a sua resolução contemple uma abordagem parcelar a cada uma das suas partes constituintes. Sendo assim, podemos começar por numerar todas as zonas triangulares de menor dimensão, o que origina, de imediato, a identificação de 10 triângulos unitários:

Temos, pois, já identificados 10 triângulos:

De seguida constata-se que o triângulo formado pelos triângulos 1 e 2 é um novo triângulo, diferente daqueles dez já identificados. Ora, centrando a nossa atenção na procura exclusiva de triângulos deste novo tipo, identificamos 10. São eles: [1,2]; [2,3]; [3,4]; [4,5]; [5,6]; [6,7]; [7,8]; [8,9]; [9,10] e [1,10]. Estão, pois, identificados 20 triângulos.

Veja-se, agora, que o triângulo formado pelos triângulos 1, 2 e 3 formam um novo triângulo. Como este há mais quatro, o que implica haver 5 triângulos deste novo tipo: [1,2,3]; [3,4,5]; [5,6,7]; [7,8,9] e [1,9,10]. Já vamos em 25 triângulos.

Repare que o triângulo formado pelos triângulos 1, 2, 6, 10, envolvendo o pentágono central, ainda não está identificado. Estamos perante um novo tipo de triângulos. Como este há mais quatro, pelo que deste tipo há 5 triângulos: [1,2,6,10]; [2,3,4,8]; [4,5,6,10]; [2,6,7,8] e [4,8,9,10]. Já contabilizámos 30 triângulos.

Por fim, ainda se pode identificar um novo tipo de triângulo, cujo exemplo pode ser o formado pelos triângulos 2, 6 e envolvendo o pentágono central. Como este há mais quatro, pelo que podem ser identificados 5 deste tipo: [2,6]; [2,8]; [4,8]; [4,10] e [6,10].

Uma vez que esta estratégia nos permitiu identificar os triângulos de cada tipo, é-nos fácil concluir, agora, que este figura permite a identificação…

Resolver problemas tem sido uma actividade humana que tem contribuído imenso para o desenvolvimento de muitas áreas do saber, de onde a Matemática não é excepção. Desde logo, há problemas que nos despertam mais a vontade de os resolver do que outros. Até há quem diga que um problema só é verdadeiramente problema a partir do momento em que o resolvedor o tentar resolver.

De entre várias definições que poderia apresentar para o conceito de problema, recorro à que tem sido, porventura, mais vezes referenciada na literatura da especialidade, da autoria de Kantowski* (1974). Esta investigadora americana entende que "um indivíduo está perante um problema quando encontra uma questão à qual não consegue responder ou uma situação que não é capaz de resolver usando o conhecimento imediatamente disponível. Tem que pensar num caminho de combinação da informação de que dispõe, no sentido de poder chegar à solução do problema" (p.1).

* - Kantowski, E. (1974). Process Involved in Mathematical Problem Solving. University of Geogia. Tese de Doutoramento.

Como sabemos, a Matemática é fértil em problemas; existem os problemas de um passo, de dois ou mais passos, de processo, de aplicação, de tipo puzzle, de aparato experimental, de conteúdo e também existem os problemas sem solução, com dados a menos, com dados a mais, com uma única solução e com várias soluções.

Ora, o tema que eu escolhi para objecto de reflexão neste artigo é o tema dos problemas que permitem mais do que uma solução. A minha opção por este tipo de problemas reside no facto de, perante múltiplos resolvedores, poder haver, não só confronto de estratégias de resolução, mas, também, confronto em termos das soluções obtidas. Por outro lado, são um tipo de problemas fundamentais para se porem em prática as nossas capacidades de resolução, que passam por não ficarmos satisfeitos com uma primeira solução encontrada.

Como situação de recreação matemática imagine-se desafiado a resolver um primeiro desafio, extraído do livro de Costa** (1986):

"No mercado havia seis cestas com ovos, umas com ovos de galinha, outras com ovos de pata. Cada cesta tinha uma etiqueta com o número de ovos que continha:

5          6          12          14          23          29

«Se vendo esta cesta», pensava a vendedeira, «ficarei com duas vezes mais ovos de galinha que de pata».

A que cesta se referia a vendedeira?" (p. 29).

** - Costa, M. (1986). O…

Um dos temas comuns em actividades de recreação matemática é a idade das pessoas. Em muitos casos os resolvedores são solicitados a identificar a idade de alguém, tendo que saber tirar partido dos dados ou das pistas fornecidas pelo enunciado. O exemplo que escohi para abordar este tema é o seguinte:

"Será possível dizer-se que uma determinada pessoa A pode passar a ter o dobro da idade de uma outra pessoa B, sendo que agora a pessoa A tem quatro vezes a idade da pessoa B?"

Por tentativas, este desafio de recreação matemática pode ser resolvido de forma afirmativa, pois, se a pessoa B tiver agora 10 anos e a pessoa A tiver 40, quando a pessoa B tiver 30 anos, a pessoa A terá 60. Ora, 40 = 4 x 10 e 60 = 2 x 30.

Outro caso de sucesso é, por exemplo, o seguinte: se a pessoa B tiver agora 12 anos e a pessoa A tiver 48, quando a pessoa B tiver 36 anos, a pessoa A terá 72. Uma vez mais, 48 = 4 x 12 e 72 = 2 x 36.

Se se transportar esta situação para contexto de sala de aula, será desejável que os alunos analisem algebricamente este tipo de relações matemáticas. Inicialmente, se a pessoa B tiver b anos, a pessoa A terá 4b anos. No final, se a pessoa B passar a ter b + 2b anos, isto é, 3b anos, a pessoa A terá 4b + 2b anos, isto é, 6b anos. Logo, terá o dobro da idade da pessoa B.

O quadro seguinte evidencia esta constatação algébrica, com a resepctiva generalização: 

Face à relação algébrica evidenciada no quadro anterior, poder-se-ão desafiar os alunos…

Em Matemática Recreativa é usual sugerirem-se problemas que apelam ao raciocínio lógico e que implicam a utilização de uma boa estratégia de resolução, sob pena de os resolvedores sentirem algumas dificuldades em organizarem o seu processo de pensamento. O exemplo que apresento a seguir, retirado de uma obra* que tive a felicidade de publicar em 2001, transporta-nos para um cenário deste tipo:

Pedro, André, Cláudio, Dinis e Bernardo estão a ensaiar um paeça de teatro, onde os personagens são um rei, um soldado, um bobo, um guarda e um prisioneiro.

Sabe-se que:

1 - Pedro, André e o prisioneiro ainda não sabem bem os seus papéis;

2 - nos intervalos, o soldado joga às cartas com o Dinis;

3 - Pedro, André e Cláudio estão sempre a criticar o guarda;

4 - o bobo gosta de ver representar o André, o Cláudio e o Bernardo, mas detesta ver o soldado.

Qual o papel desempenhado na peça por cada um?

* - Afonso, Paulo (2001). Uma aventura matemática na Internet. Porto: ASA.

Este desafio tem a seguinte resolução: (a) O rei é o André, (b) o soldado é o Pedro, (c) o bobo é o Dinis, (d) o guarda é o Bernardo e, (e) o prisioneiro é o Cláudio.

Contudo, a utilização de uma boa estratégia de resolução permite perceber-se, durante o processo de resolução e ao fim do mesmo, o tipo de raciocínio empregue, evitando a resolução em círculos viciosos. Sugiro, pois, a utilização de uma tabela de dupla entrada, associada a uma legenda e à escrita minuciosa dos passos que forem sendo dados:

Legenda: X - é; O - não é…