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Num tópico anterior sobre probabilidades aleguei que a percepção correta das probabilidades associadas a determinados eventos e o estabelecimento (quando existem) de correlações entre eventos dados não é algo intuitivo entre os seres humanos, e provavelmente nem para os demais primatas.

Faz pouco tempo que me rendi a esse fenômeno moderno que são os blogs, e devo confessar que, apesar dos vários aspectos negativos dessa nova tecnologia, há algumas vantagens fantásticas. Uma delas é a possibilidade de receber, quase que imediatamente, as impressões e as opiniões do leitor (o famoso e desnecessário anglicismo “feedback”). Claro que isso também era (e continua sendo) possível com um livro impresso, mas há uma enorme diferença entre escrever, envelopar e postar uma carta para o autor, e encontrar logo após a leitura de um texto um convidativo “deixe seu comentário”…

Assim sendo, nesse tópico anterior sobre probabilidades entrei num diálogo com um colega, em que ele argumentava que a percepção das probabilidades é intuitiva, e eu mantinha minha posição. Revi alguns conceitos, e penso que há outra forma de defender minha suposição. Explaná-la é o fito dessa breve nota.

Nós conseguimos determinar probabilidades e estabelecer relações através de um processo laborioso de coleta de dados, seguido pelo não menos complexo trabalho de análise estatística desses dados coletados. Essa atividade de análise de dados é um processo científico, construído por décadas e décadas através do acúmulo de conhecimentos sobre esse ramo das ciências e da matemática. Meu ponto de vista é que a mente de um mamífero (vou aqui deliberadamente trazer a análise para um grupo mais inclusivo…) como a do ser humano não é capaz, intuitivamente, de perceber essa montanha de dados, de construir estatísticas descritivas e de ponderar probabilidades. Não estou chamando os mamíferos de burros, um apaixonado pela etologia que sou jamais faria isso. O que quero dizer é que os mamíferos, ou especificamente os primatas, não são intuitivamente capazes de estabelecer probabilidades, e que nem precisam disso: haverá alguma forma mais simples e ao mesmo tempo mais eficaz de se analisar uma montanha gigantesca de dados, num período de tempo indefinido, e se estabelecer correlações? Penso que sim, e a resposta pode ser bastante simples: o processo de seleção.

Para explicar e defender minha suposição, preciso inicialmente estabelecer o conceito de módulo comportamental, que seria uma estrutura etológica geneticamente determinada. Em outras palavras, um determinado comportamento geneticamente…

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Ver a informação em Information is beautifulContinue a ler Calcular a probabilidade de sofrer um acidente de aviação

Para quem é mágico amador aqui vão duas sugestões de truques capazes de surpreender a assistência. Baseiam-se em probabilidades e o mágico tem de assumir algum risco. Mas isso também torna os truques mais excitantes.
É tentador maravilhar os outros com propriedades numéricas estranhas e complicadas. Pode-se perguntar a idade da avó, somar a da irmã, multiplicar por 25, somar 12, fazer outras tantas operações e, finalmente, adivinhar a idade do interlocutor.
Há centenas de adivinhas semelhantes descritas em livros e circulando pela Internet. Propomos aqui duas apostas em que o próprio corre o risco de perder. Mas é um risco controlado, o que apenas dá mais vida aos desafios.
Imagine o leitor que tem um público de umas dezenas de pessoas. Comece por recordar que os números das portas da rua têm um primeiro dígito significativo e que esse dígito é 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9. Um número de porta não pode começar por zero.
Em seguida, explique que as pessoas moram em ruas diferentes e que não escolheram o número da sua porta, pelo que o primeiro dígito significativo de cada número é aleatório. Sendo assim, e havendo muitas pessoas na sala, é natural que tenda a haver tantas com o número de porta começando por 1, como com o número começando por 2, como por qualquer outro dos 9 dígitos possíveis. Mas o leitor, que é mágico, conseguiu descobrir que não é assim e que há mais pessoas com número de porta começando por 1, 2, 3 ou 4 do que começando por 5, 6, 7, 8 ou 9. No primeiro caso temos quatro hipóteses e no segundo cinco, pelo que deveria ser o contrário, pensará o público.
Peça agora para as pessoas no primeiro caso levantarem os braços. Peça depois para as pessoas no segundo grupo fazerem o mesmo.
Habitualmente, não vale a pena contar os braços. A aposta vence-se com grande margem. Se não quiser arriscar, fique por aqui. Mas se estiver bem-disposto, aposte que há mais pessoas com número de porta começando por 1, 2 ou 3 do que começando por qualquer um dos restantes seis dígitos. Nesta segunda aposta parece que tem dois terços de probabilidade de perder, mas, na realidade, é mais provável que volte a ganhar do que perder.
As magias matemáticas não têm piada quando não se explicam. O que acontece é que, para

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Texto de Nuno Crato no Expresso de ontem e que será discutido numa das próximas aulas:

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"A teoria das probabilidades tornou-se tão essencial em todos os ramos da ciência, não só nas ciências físicas, mas também nas ciências biológicas e sociais, que se pode prever com alguma segurança que desempenhará um papel cada vez mais importanteno ensino da matemática nos primeiros anos de escolaridade." Esta citação foi retirada de um livro do sr. Martin Gardner, matemático e filósofo da ciência e mostra que a Matemática é uma ciência que continua a ser construída, porque há sempre coisas novas.

Hoje vamos falar, tal como o título indica, de probabilidades.

No desenrolar do nosso dia a dia deparamo-nos com situações que nos  obrigam a tomar decisões e acerca das quais não temos a certeza. Apenas temos indicações que nos permitem decidir com alguma probabilidade de acertarmos.

Vamos falar de algumas dessas situações. Algumas delas são meros jogos, enquanto outras envolvem opções importantes. Vejamos então alguns casos:

1 - Já todos nós  jogámos, nem que seja apenas por distracção, ao lançamento de uma moeda e registámos as faces saídas durante, por exemplo, 10 lançamentos:

 

cara, coroa, coroa, coroa, cara, coroa, coroa, coroa, coroa, coroa

 

Como se verifica em 10 lançamentos saíram 8 coroas e 2 caras. Toda a gente sabe, se a moeda é perfeita, que a probabilidade de sair qualquer das faces é 1/2, isto é, 50% para cada caso. Mas não é isto que aconteceu até agora. Então podemos podemos supor que na próxima jogada vai sair cara. Será assim? Se reflectirmos um pouco chegaremos à conclusão de que tanto pode sair cara ou coroa, porque os lançamentos da moeda são todos independentes uns dos outros.

Logo, a face a sair pode ser qualquer uma, independentemente das saídas anteriores.

Será que podemos concluir que ao fim de 10000 lançamentos da moeda, cerca de 5000 são cara e a outra metade coroa?

 

2 - Conheci em Moçambique, onde estive no serviço militar, um casal que tinha sete filhas. Desejavam ter um filho. À quinta gravidez da mulher todos os seus amigos diziam: é desta vez que nasce um rapaz, não pode ser outra menina. No entanto, a mãe natureza foi gorando as expectativas e à sétima menina o casal desistiu.

Mas perguntamos nós: a probabilidade de nascer rapaz ou rapariga não é a mesma? E a parte genética não conta? A probabilidade de um bébé ser macho ou fêmea é 50% para cada caso,…

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Na minha actividade profissional tenho entrado em muitas escolas do distrito de Castelo Branco. Tenho assistido às mais variadas situações envolvendo alunos e professores e eu próprio. Normalmente quando entro numa sala de aula olho em volta e observo os cartazes, os trabalhos, os materiais, as informações,...que estão expostos nas paredes ou nos armários ou nas mesas.

Há, talvez, cerca de dois anos, ao ler um cartaz pendurado numa parede, verifiquei que havia naquela sala cinco (5) alunos que faziam anos no mesmo dia, embora não fossem da mesma idade. Verifiquei depois que havia três irmãos que eram gémeos. Apesar disto, era um número significativo de alunos a fazerem anos no mesmo dia, o que não parece ser nada vulgar, tanto mais que a turma tinha 17 alunos, o que corresponde a uma percentagem de 29,4% do total de alunos.

Esta circunstância levou-me a fazer algumas reflexões e a procurar informações sobre a probabilidade de acontecerem situações parecidas com esta.

1. Conta-se, como pergunta de algibeira, que tendo alguém 10 pares de peúgas de três cores diferentes numa gaveta da cómoda do quarto de dormir, todas misturadas,  e não querendo acender a luz de madrugada para não acordar a mulher e precisando de peúgas, pergunta-se:

 

- Quantas peúgas deve tirar para ter a certeza de que tem um par da mesma cor?

 

A resposta não pode ser 2, porque tem três cores diferentes; não pode ser 3 - poderia calhar uma peúga de cada cor; mas com 4 peúgas de certeza que duas eram da mesma cor.

 

2. Martin Gardner, no seu livro "Ah, apanhei-te!" pergunta se será "uma coincidência extraordinária" duas pessoas num grupo de quatro serem do mesmo signo. Nós, em vez de signos, preferimos perguntar:

 

Qual é a probabilidade de duas pessoas, num grupo de quatro, terem nascido no mesmo mês?

 

Tal como no caso das meias, para que tivéssemos a certeza (probabilidade 1) de ter duas pessoas nascidas no mesmo mês precisávamos de juntar 13 pessoas.

Como calcular a probabilidade de duas pessoas num grupo de 4 terem nascido no mesmo mês?

Parece evidente que qualquer das pessoas tem a mesma probabilidade de ter nascido em qualquer dos 12 meses do ano, que será 1/12. Se considerarmos quatro pessoas - Alice, Berta, Carla e Dulce - podemos imediatamente calcular qual é a probabilidade da Alice e da…

Continue a ler As probabilidades e os anos

No dia em que Obama tomou posse e em que se apelou aos valores da liberdade e da igualdade temos de recordar a declaração da Independência Americana de 1776, bem como a Declaração dos Direitos do Homem e do Cidadão de 1789 que criaram uma nova era, quer no domínio dos direitos do homem quer numa nova visão da Ciências.



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Perdoem-me os leitores a falta de modéstia por dedicar este artigo ao meu mais recente livro, acabado de publicar a 17 de Dezembro de 2008 pelas Edições do Instituto Politécnico de Castelo Branco, cujo nome é: O Mundo Mágico das Conexões Matemáticas, com o ISBN: 978-989-8196-06-4.

Apesar de não se tratar de um livro que explicitamente aborde o tema da Matemática Recreativa, contém algumas propostas de tarefas de aplicação da Matemática ao quotidiano, com a respectiva justificação matemática de isso poder ocorrer.

O índice do livro permite ter-se uma ideia dos temas abordados:

1 - Introdução

2 - Conexões matemáticas a partir do Binómio de Newton

3 - Conexão algébrica e geométrica relacionando outros casos notáveis da multiplicação

4 - Conexão entre a diferença de quadrados e o teorema de Pitágoras

5 - Ternos pitagóricos - várias perspectivas conectadas

6 - O triângulo de Pascal e sua conexão com o cálculo combinatório, com os números de Fibonacci e com outros temas matemáticos

7 - Conexão entre o triângulo de Pascal, os números triangulares e os números tetraédricos

8 - Conexão entre os números triangulares e outros números figurados

9 - Outras conexões matemáticas envolvendo os números triangulares

10 - Composição e decomposição de números através da utilização de triângulos mágicos

11 - Composição e decomposição de números através da utilização de quadrados mágicos

12 - As potências e sua conexão a vários temas matemáticos

13 - Conexões finais

14 - Bibliografia 

Eis alguns exemplos de tarefas propostas nesse livro:

 

A: - Imagine-se um terreno quadrado com 30 metros de lado, o qual vai ser dividido em quatro partes. Uma primeira parte será um amplo espaço para uma garagem, cujo chão será um rectângulo com 10 metros de largura e 20 metros de comprimento. Mesmo encostada a esta garagem está uma piscina quadrada com 100 metros quadrados de área. Além disso, mesmo ao lado da piscina fica uma zona ajardinada, de forma rectangular, com exactamente a mesma área que o chão da garagem. O resto do terreno fica para a edificação da casa, cujo chão será um quadrado. Qual é a área deste chão?

 

B: - Sabendo que exitesm cinco pessoas a pretender jogar matraquilhos, quantas são as combinações possíveis para estarem quatro pessoas a jogar de cada vez?

 

C: - Quantos apertos de mão são dados por 40 amigos que já não se viam há algum…

Continue a ler O mundo mágico das conexões matemáticas

Mais duas curiosidades... O padrão dos números pares (até à linha 11...). E... somas rastejantes! Continue a ler Ainda o Triângulo de Pascal