Blogs de Ciência

Blogs de Ciência – Divulgação de todos os blogs em Português que versam a ciência. Parte do Projecto Divulgar a Ciência(.com)

Archive for the Probabilidades

Os bilhetes de metro


No passado dia 29 de Maio participei na manifestação nacional de trabalhadores organizada pela CGTP-IN, em Lisboa.


 

 

 

No final da manifestação dirigi-me com mais dois amigos à Casa do Alentejo, ali perto, para nos dessedentarmos. Com tanta felicidade o fizemos que acabámos por assistir à apresentação de um coro de trabalhadores alentejanos e um dos responsáveis da Casa, perante o nosso interesse, serviu-nos de cicerone e acabou por nos acompanhar numa breve visita às instalações,  dando explicações de carácter histórico sobre o palácio e a própria Casa do Alentejo que funciona naquelas instalações desde 1933. Podemos afirmar que pela qualidade das instalações, pelas actividades desenvolvidas e pelo que representa para o povo alentejano merece aquela Casa ser frequentada e apreciada.


Na continuação da nossa história, decidimos ir para o local onde se encontrava o nosso autocarro que nos transportaria para Castelo Branco. Ao fazermos a sua localização na cidade de Lisboa, verificámos que era bastante distante, pelo que decidimos ir de metro para o Cais do Sodré. Ao chegarmos à estação do Rossio, aproximámo-nos da uma das máquinas para obtermos os bilhetes de acesso ao comboio. É claro que tivemos alguma hesitação, não sendo para nós habitual o uso deste tipo de transporte. No entanto, perante alguma surpresa nossa, quer pela rapidez com que aconteceu, quer pela simpatia com que foi feita, quer pela eficácia, um trabalhador do metro dirigiu-se a nós perguntando se precisávamos de ajuda. É claro que afirmámos que “sim”.
Mantivemos com ele um diálogo, acerca da estação para onde queríamos viajar, e como proceder para obtermos os bilhetes necessários, que deviam ser acompanhados sempre de um cartão de acesso.
Curiosamente, perante a pergunta se algum de nós não teria cartões de acesso obtidos anteriormente, acabei por verificar que tinha três cartões que já estavam caducados e não podiam ser utilizados.


Para efectuar a viagem, era necessário adquirir, por isso, além dos cartões de acesso, o bilhete respectivo para cada um de nós. Perante a experiência negativa de ter gasto dinheiro em cartões que foram utilizados apenas uma vez, perguntei se não era possível recuperar o dinheiro dos cartões no fim da viagem.
O trabalhador que nos apoiou informou-nos que no final da viagem poderíamos dirigir-nos à bilheteira com os cartões e recibos onde nos seria devolvido o valor correspondente a cada um dos cartões. Fomos ainda informados

Continue a ler Os bilhetes de metro

Probabilidade condicionada com moedas

(estas moedas não são de prata nem de ouro, mas de alpaca e de cobre)

A Professora Fernanda Carvalhal publicou, em 30.03.10, com o título  A moeda de Bertrand o problema seguinte:

« Tenho três caixas tendo uma delas duas moedas de ouro, outra uma moeda de ouro e outra de prata, e a outra duas de prata. De uma das caixas tira-se uma moeda de ouro. Qual a probabilidade de a moeda que ficou na caixa seja de ouro? »

 Apresentei a seguinte resposta errada:

« Se não me engano, a probabilidade é 1/2.

Justificação (sem grande rigor de notação):

1.º método (O — ouro, P — prata) – (1.ª moeda,2.ª moeda)

(O,O),(O,O),(O,P),

(P,O),(P,P),(P,P)

N.º de pares ordenados em que o segunto elemento é ouro/N.º total de pares ordenados = 3/6 = 1/2

2.º método (sabendo-se que a 1.ª moeda de ouro):

1 caixa favorável: \{O,O\}, 2 caixas possíveis: \{O,O\},\{O,P\}

A Probabilidade é então 1/2.

Nota: a caixa restante \{P,P\} exclui-se. »

O comentário da autora do post foi:

« Na realidade este é um paradoxo probabilístico. A probabilidade é 2/3.

Ver em http://www.sedentario.org/colunas/duvida-razoavel/porta-dos-desesperados-5853 » 

ao que respondi:

« Espalhei-me completamente, o que não me admira, porque as probabilidades são (ou podem ser) muito matreiras.

Sabendo já qual é o resultado (2/3), vou corrigir o meu raciocínio anterior, tentando aproveitar o que puder.
 
Os casos possíveis, seis, são:
 
 #1 (O,O), #2 (O,O), #3 (O,P),
\bigskip

#4 (P,O), #5 (P,P), #6 (P,P)

 ou, na notação do autor (**) do post com a solução / explicação:
 

#1 (O_1,O_2), #2 (O_2,O_1), #3 (O,P), 

 #4 (P,O), #5 (P_1,P_2), #6 (P_2,P_1)

A probabilidade P(O) de a primeira moeda ser de ouro

Continue a ler Probabilidade condicionada com moedas

A lei de Murphy e a queda do gato


Genericamente a lei de Murphy diz que se algo pode correr mal é muito provável que corra mal ( ler mais aqui). Assim se uma torrada cair ao chão é muito provável que caia com a manteiga para baixo. E se combinarmos este princípio com a queda dos gatos?Continue a ler A lei de Murphy e a queda do gato

Ainda o problema de travesseiro de Lewis Carroll


Um problema que não sei se é equivalente ao problema de travesseiro de Lewis Carroll:
Tenho dois sacos, um com uma bola branca e uma bola preta e outro com duas bolas brancas. Retiro de um dos sacos uma bola que verifico que é branca. Qual a probabilidade de a que ficou no saco seja também branca?Continue a ler Ainda o problema de travesseiro de Lewis Carroll

Mais sobre probabilidades: a questão do incesto


Num tópico anterior sobre probabilidades aleguei que a percepção correta das probabilidades associadas a determinados eventos e o estabelecimento (quando existem) de correlações entre eventos dados não é algo intuitivo entre os seres humanos, e provavelmente nem para os demais primatas.

Faz pouco tempo que me rendi a esse fenômeno moderno que são os blogs, e devo confessar que, apesar dos vários aspectos negativos dessa nova tecnologia, há algumas vantagens fantásticas. Uma delas é a possibilidade de receber, quase que imediatamente, as impressões e as opiniões do leitor (o famoso e desnecessário anglicismo “feedback”). Claro que isso também era (e continua sendo) possível com um livro impresso, mas há uma enorme diferença entre escrever, envelopar e postar uma carta para o autor, e encontrar logo após a leitura de um texto um convidativo “deixe seu comentário”…

Assim sendo, nesse tópico anterior sobre probabilidades entrei num diálogo com um colega, em que ele argumentava que a percepção das probabilidades é intuitiva, e eu mantinha minha posição. Revi alguns conceitos, e penso que há outra forma de defender minha suposição. Explaná-la é o fito dessa breve nota.

Nós conseguimos determinar probabilidades e estabelecer relações através de um processo laborioso de coleta de dados, seguido pelo não menos complexo trabalho de análise estatística desses dados coletados. Essa atividade de análise de dados é um processo científico, construído por décadas e décadas através do acúmulo de conhecimentos sobre esse ramo das ciências e da matemática. Meu ponto de vista é que a mente de um mamífero (vou aqui deliberadamente trazer a análise para um grupo mais inclusivo…) como a do ser humano não é capaz, intuitivamente, de perceber essa montanha de dados, de construir estatísticas descritivas e de ponderar probabilidades. Não estou chamando os mamíferos de burros, um apaixonado pela etologia que sou jamais faria isso. O que quero dizer é que os mamíferos, ou especificamente os primatas, não são intuitivamente capazes de estabelecer probabilidades, e que nem precisam disso: haverá alguma forma mais simples e ao mesmo tempo mais eficaz de se analisar uma montanha gigantesca de dados, num período de tempo indefinido, e se estabelecer correlações? Penso que sim, e a resposta pode ser bastante simples: o processo de seleção.

Para explicar e defender minha suposição, preciso inicialmente estabelecer o conceito de módulo comportamental, que seria uma estrutura etológica geneticamente determinada. Em outras palavras, um determinado comportamento geneticamente…

Continue a ler Mais sobre probabilidades: a questão do incesto

Calcular a probabilidade de sofrer um acidente de aviação




Ver a informação em Information is beautifulContinue a ler Calcular a probabilidade de sofrer um acidente de aviação

Aprenda truques mágicos usando a Matemática


Para quem é mágico amador aqui vão duas sugestões de truques capazes de surpreender a assistência. Baseiam-se em probabilidades e o mágico tem de assumir algum risco. Mas isso também torna os truques mais excitantes.
É tentador maravilhar os outros com propriedades numéricas estranhas e complicadas. Pode-se perguntar a idade da avó, somar a da irmã, multiplicar por 25, somar 12, fazer outras tantas operações e, finalmente, adivinhar a idade do interlocutor.
Há centenas de adivinhas semelhantes descritas em livros e circulando pela Internet. Propomos aqui duas apostas em que o próprio corre o risco de perder. Mas é um risco controlado, o que apenas dá mais vida aos desafios.
Imagine o leitor que tem um público de umas dezenas de pessoas. Comece por recordar que os números das portas da rua têm um primeiro dígito significativo e que esse dígito é 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9. Um número de porta não pode começar por zero.
Em seguida, explique que as pessoas moram em ruas diferentes e que não escolheram o número da sua porta, pelo que o primeiro dígito significativo de cada número é aleatório. Sendo assim, e havendo muitas pessoas na sala, é natural que tenda a haver tantas com o número de porta começando por 1, como com o número começando por 2, como por qualquer outro dos 9 dígitos possíveis. Mas o leitor, que é mágico, conseguiu descobrir que não é assim e que há mais pessoas com número de porta começando por 1, 2, 3 ou 4 do que começando por 5, 6, 7, 8 ou 9. No primeiro caso temos quatro hipóteses e no segundo cinco, pelo que deveria ser o contrário, pensará o público.
Peça agora para as pessoas no primeiro caso levantarem os braços. Peça depois para as pessoas no segundo grupo fazerem o mesmo.
Habitualmente, não vale a pena contar os braços. A aposta vence-se com grande margem. Se não quiser arriscar, fique por aqui. Mas se estiver bem-disposto, aposte que há mais pessoas com número de porta começando por 1, 2 ou 3 do que começando por qualquer um dos restantes seis dígitos. Nesta segunda aposta parece que tem dois terços de probabilidade de perder, mas, na realidade, é mais provável que volte a ganhar do que perder.
As magias matemáticas não têm piada quando não se explicam. O que acontece é que, para

Continue a ler Aprenda truques mágicos usando a Matemática

NUMB3RS e a probabilidade

Continue a ler NUMB3RS e a probabilidade

Paradoxos do jogo

Texto de Nuno Crato no Expresso de ontem e que será discutido numa das próximas aulas:


Imagine que entramos num casino que nos propõe o seguinte jogo. Colocamos 100 euros em cima da mesa e ganhamos ou perdemos atirando uma moeda ao ar. Se cair caras ganhamos 40 euros; se cair coroas perdemos 30 euros. Devemos aceitar o jogo?

Se a moeda estiver equilibrada e for lançada honestamente, as probabilidades são iguais. Ganhamos 40 euros com probabilidade 1/2 e perdemos 30 euros com probabilidade 1/2. O valor esperado deste jogo é 40/2-30/2, ou seja, 5 euros. Isto significa que, se pusermos muitas vezes 100 euros em cima da mesa e repetirmos o jogo, ao fim de um número grande de lançamentos teremos ganho, aproximadamente, 5 euros por lançamento. Ao fim de mil jogadas deveremos acumular uns 5000 euros. Vale a pena ir a este casino. Para nós, é uma máquina de fazer dinheiro.

O funcionário, contudo, sabe que é uma maçada estar sempre a colocar 100 euros em cima da mesa e resolve simplificar-nos a vida. Em vez de ganharmos, de cada vez, 40%, ou perdermos 30%, sobre 100 euros, como ao princípio, colocamos os 100 euros em cima da mesa e repetimos o jogo ganhando de cada vez 40% ou perdendo 30% do que tiver ficado em cima da mesa. Assim, por exemplo, se sair 'caras, caras, coroas', os 100 euros transformam-se em 140, a que se somam 40% de 140, ficando 196, a que se retira 30% de 196, ficando 137,20, e assim por diante.

O funcionário do casino parece estar a facilitar-nos a vida. Porque não 5o? Pomos a máquina de fazer dinheiro a rolar e vamos dar uma volta, satisfeitos. Aproveitamos para jantar bem e beber melhor. É à conta do jogo.

Duas horas depois passamos pela mesa para recolher o nosso dinheiro. Entretanto, a moeda foi lançada ao ar 100 vezes. Quanto dinheiro esperamos recolher? Várias centenas, não?

Ficamos surpreendidos, pois o funcionário dá-nos apenas 13 cêntimos. E as nossas testemunhas dizem-nos que, caso extraordinário, 'caras' apareceu 50 vezes e 'coroas' outras tantas. O jogo foi equilibrado. Como pode isto ter acontecido?

Pode! Ao fazer o jogo sequencialmente, o resultado é o produto de 100 euros por 140%, 50 vezes, e por 70%, outras 50 vezes. Faça o leitor as contas. Sobram-nos 36 cêntimos. É que 140% de 70% é 98%, ou seja, por cada sequência

Continue a ler Paradoxos do jogo

As probabilidades no dia a dia

"A teoria das probabilidades tornou-se tão essencial em todos os ramos da ciência, não só nas ciências físicas, mas também nas ciências biológicas e sociais, que se pode prever com alguma segurança que desempenhará um papel cada vez mais importanteno ensino da matemática nos primeiros anos de escolaridade." Esta citação foi retirada de um livro do sr. Martin Gardner, matemático e filósofo da ciência e mostra que a Matemática é uma ciência que continua a ser construída, porque há sempre coisas novas.

Hoje vamos falar, tal como o título indica, de probabilidades.

No desenrolar do nosso dia a dia deparamo-nos com situações que nos  obrigam a tomar decisões e acerca das quais não temos a certeza. Apenas temos indicações que nos permitem decidir com alguma probabilidade de acertarmos.

Vamos falar de algumas dessas situações. Algumas delas são meros jogos, enquanto outras envolvem opções importantes. Vejamos então alguns casos:

1 - todos nós  jogámos, nem que seja apenas por distracção, ao lançamento de uma moeda e registámos as faces saídas durante, por exemplo, 10 lançamentos:

 

cara, coroa, coroa, coroa, cara, coroa, coroa, coroa, coroa, coroa

 

Como se verifica em 10 lançamentos saíram 8 coroas e 2 caras. Toda a gente sabe, se a moeda é perfeita, que a probabilidade de sair qualquer das faces é 1/2, isto é, 50% para cada caso. Mas não é isto que aconteceu até agora. Então podemos podemos supor que na próxima jogada vai sair cara. Será assim? Se reflectirmos um pouco chegaremos à conclusão de que tanto pode sair cara ou coroa, porque os lançamentos da moeda são todos independentes uns dos outros.

Logo, a face a sair pode ser qualquer uma, independentemente das saídas anteriores.

Será que podemos concluir que ao fim de 10000 lançamentos da moeda, cerca de 5000 são cara e a outra metade coroa?

 

2 - Conheci em Moçambique, onde estive no serviço militar, um casal que tinha sete filhas. Desejavam ter um filho. À quinta gravidez da mulher todos os seus amigos diziam: é desta vez que nasce um rapaz, não pode ser outra menina. No entanto, a mãe natureza foi gorando as expectativas e à sétima menina o casal desistiu.

Mas perguntamos nós: a probabilidade de nascer rapaz ou rapariga não é a mesma? E a parte genética não conta? A probabilidade de um bébé ser macho ou fêmea é 50% para cada caso,

Continue a ler As probabilidades no dia a dia
  • Arquivos