Coincidências (parte 1)

Arquivado em 7 Maio 2012 por Jardel Elias @ O Labirinto Científico

Devido ao sucesso da minha última postagem seriada “Tirando sarro de Paradoxos” eu não pude deixar de cair na tentação de escrever outra. Isso mesmo; dessa vez, farei algumas discussões à respeito de uma das áreas mais fascinantes da física: a teoria de probabilidades.

Tudo começou quando eu e uma amiga estávamos conversando sobre coincidências. Coincidências acontecem, basicamente, quando dois eventos sujeitos à uma pequena probabilidade acontecem ao mesmo tempo. Essa “raridade” é muitas vezes supervalorizadas. Eventos aparentemente raros não são tão raros assim. É sobre isso que vou tratar hoje, omitindo muitos dos cálculos (infelizmente), então vocês vão ter que confiar em mim.
Quantas pessoas precisam estar em uma sala para que haja uma chance considerável de que duas delas façam aniversário no mesmo dia? Para 96% de chance, acreditem se quiser, são necessárias 48 pessoas. Por que? Subonhamos que k seja o número de “graus de liberdade” do nosso sistema. Para o caso dos aniversários, k = 365, que é o número de dias em que uma pessoa pode fazer aniversário (descontando gente que nasceu em 29 de fevereiro, que são bizarras). A chance de que duas pessoas façam aniversário no mesmo dia é, de fato, 1/365, ou seja, a chance delas não terem nascido no mesmo dia é 364/365. Agora, se adicionarmos uma terceira pessoa, a probabilidade de não fazerem aniversário no mesmo dia é 363/365, e assim por diante. Se existem 48 pessoas na nossa sala, último número dessa sequência é 317/365. E a probabilidade de que todas façam aniversário em dias diferentes é calculada pelo produto dessas probabilidades individuais:

P= 364/365 x 363/365 x 362/365 x … x 317/365 = 0.036…

Logo, a probabilidade de que duas pessoas façam aniversário no mesmo dia, 1-P, é 0,964, ou 96,4%.
Dá até para usar essa informação e vencer algumas apostas. Se você algum dia tiver a oportunidade de juntar 50 pessoas no mesmo lugar, peça a cada uma delas que pense em um número entre 1 e 400, e aposte que pelo menos duas delas terão pensado no mesmo número. Você tem 96% de chance de estar certo, sem contar o fato de que as pessoas preferem pensar em números ímpares.
Você pode ganhar algum dinheiro, e perder alguns amigos.
Até a próxima!

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Mathematics Stack Exchange — Duas perguntas e respostas sobre a função gama

Arquivado em 7 Maio 2012 por Américo Tavares @ Problemas Teoremas

[Original in English]

Esta é a tradução portuguesa do meu post Two Mathematics Stack Exchange Questions and Answers on the Gamma Function

Questão de pomme. Definição da função gama

“Sei que a função gama com o argumento $(-\dfrac{1}{ 2})$ — por outras palavras $\Gamma(-\dfrac{1}{2})$ é igual a $-2\pi^{1/2}$ . Porém, sendo a definição de

$\Gamma(k)=\displaystyle\int_0^\infty t^{k-1}e^{-t}dt$

como é que $\Gamma(-\frac{1}{2})$ se pode obter desta definição? WolframAlpha diz que não converge…”

Minha resposta

A sua dúvida faz sentido se para $k=-1/2$ tentar usar a definição da função gama pelo integral que escreveu, porque ele diverge em $k=-1/2$ como diz. Vou tentar esclarecer como segue. Esta representação integral da função gama (uso $x$ em vez de $k$ )

$\Gamma (x)=\displaystyle\int_{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}dt\qquad(0)$

é válida nos reais, se e só se, $x>0$ . Usando a integração por partes podemos mostrar que

$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x).\qquad(1)$

Para $x<0$ podemos definir $\Gamma (x)$ pata todos os valores negativos de $x$ excepto $-1,-2,-3,\cdots$ não pelo integral $(0)$ , mas antes através da equação funcional $(1)$ , que é da forma

$\Gamma (x)=\dfrac{\Gamma(x+1)}{x}.\qquad(2)$

Então $x+1>0$ [e] $\Gamma (x+1)$ é convergente. No seu exemplo $x=-1/2$ , logo $x+1=1/2$ e $\Gamma (1+x)=\Gamma (1/2)$ . Assim obtemos

$\Gamma (-1/2)=\dfrac{\Gamma(1/2)}{-1/2}=-2\Gamma (1/2)=-2\sqrt{\pi },\qquad(3)$

em que usamos o valor conhecido do integral $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi }$ , que pode calcular-se, por exemplo a partir da igualdade

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }\displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy=\dfrac{\pi }{4}=\left( \displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right) ^{2}.\qquad(4)$

Analogamente, para $x=-3/2$ , de $(2)$ determinamos que $\Gamma (-3/2)=-\frac{2}{3}\Gamma (-1/2)$ , usiando duas vezes $(3)$ . A este processo chama-se prolongamento analítico, cuja verdadeira compreensão exige o conhecimento de análise complexa.

$\text{Plot of }y=\Gamma(x)\quad -5<x<5$

Questão de Amitabh Udayiman. Convergência deste integral

“O meu livro escolar de estatística indicada pela minha escola afirma que o integral

$\Gamma(n)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx$

é convergente para $n>0$ , não o demonstrando. Por isso alguém me poderia ajudar a demonstrá-lot? Mais uma vez obrigado!”

Minha resposta. Parto do princípio que $n$ é um número real. Decomponha o integral impróprio da função gama

$\Gamma(n)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx\qquad(0)$

em $I_1+I_2$ , em que

$I_1=\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x}x^{n-1}dx\qquad(1)$

$I_2=\displaystyle\int_{1}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx\qquad(2)$

1. Para demonstrar que o integral $I_2$ é sempre convergente use o facto de que qualquer que seja o número real $\alpha$ o integral

$\int_{1}^{\infty }e^{-x}x^{\alpha }dx\qquad(3)$

é convergente, pelo critério do limite

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{e^{-x}x^{\alpha }}{x^{-2}}=0\qquad(4)$

comparando-o com o integral convergente

$\displaystyle\int_{1}^{\infty }\dfrac{dx}{x^{2}}.\qquad(5)$

2. Quanto a $I_1$ considere dois casos. (a) Se $n\geq 1$ , observe que $\lim_{x\rightarrow 0}e^{-x}x^{n-1}=0$ , logo $I_1$ é um integral próprio. (b) Se $0<n<1$ , a função integranda $e^{-x}x^{n-1}$ comporta-se como $x^{n-1}$ na vizinhança de $n=0$ , porque $e^{-x}\rightarrow 1$ quando $x\rightarrow 0$ . Visto que

$\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{x^{1-n}}\qquad(6)$

é convergente, se e só se, $1-n<1$ , isto é $n>0$ , também o é $I_1$ , o que faz com que $\Gamma(n)=I_1+I_2$ seja convergente para $n>0.$

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Two Mathematics Stack Exchange Questions and Answers on the Gamma Function

Arquivado em 7 Maio 2012 por Américo Tavares @ Problemas Teoremas

I post here together two answers of mine on MSE both on the gamma function.

Question by pomme. Definition of the gamma function

“I know that the Gamma function with argument $(-\dfrac{1}{ 2})$ — in other words $\Gamma(-\dfrac{1}{2})$ is equal to $-2\pi^{1/2}$ . However, the definition of

$\Gamma(k)=\displaystyle\int_0^\infty t^{k-1}e^{-t}dt$

but how can $\Gamma(-\frac{1}{2})$ be obtained from the definition? WA says it does not converge…”

My answer

Your doubt makes sense if for $k=-1/2$ you try using the definition of the gamma function by the integral you have written, because it diverges at $k=-1/2$ as you stated. I will try to clarify if as follows. This integral representation of the gamma function (I use $x$ instead of $k$ )

$\Gamma (x)=\displaystyle\int_{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}dt\qquad(0)$

holds in the reals if and only if $x>0$ . Using integration by parts we can show that

$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x).\qquad(1)$

For $x<0$ we can define $\Gamma (x)$ for all negative values of $x<0$ except $-1,-2,-3,\cdots$ not by the integral $(0)$ , rather by means of the functional equation $(1)$ in the form

$\Gamma (x)=\dfrac{\Gamma(x+1)}{x}.\qquad(2)$

Then $x+1>0$ [and] $\Gamma (x+1)$ is convergent. In your example $x=-1/2$ , so $x+1=1/2$ and $\Gamma (1+x)=\Gamma (1/2)$ . Hence we obtain

$\Gamma (-1/2)=\dfrac{\Gamma(1/2)}{-1/2}=-2\Gamma (1/2)=-2\sqrt{\pi },\qquad(3)$

where we use the known value of the integral $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi }$ , which can be evaluated, e.g. from the equality

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }\displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy=\dfrac{\pi }{4}=\left( \displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right) ^{2}.\qquad(4)$

Similarly, for $x=-3/2$ by $(2)$ we find $\Gamma (-3/2)=-\frac{2}{3}\Gamma (-1/2)$ , using $(3)$ twice. This process is called analytic continuation, but its true understanding requires knowledge of complex analysis.

$\text{Plot of }y=\Gamma(x)\quad -5<x<5$

Question by Amitabh Udayiman. Convergence of this integral

“My statistics text book prescribed by my school states that the integral

$\Gamma(n)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx$

is convergent for $n>0$ .It does not prove the statement. So can anyone please help me prove it? Thanks again!”

My answer. I assume that $n$ is a real number. Split the gamma improper integral

$\Gamma(n)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx\qquad(0)$

into $I_1+I_2$ , where

$I_1=\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x}x^{n-1}dx\qquad(1)$

and

$I_2=\displaystyle\int_{1}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx\qquad(2)$

1. To prove that the integral $I_2$ is always convergent use the fact that for any real number $\alpha$ the integral

$\int_{1}^{\infty }e^{-x}x^{\alpha }dx\qquad(3)$

is convergent, by the limit comparison test

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{e^{-x}x^{\alpha }}{x^{-2}}=0\qquad(4)$

with the convergent integral

$\displaystyle\int_{1}^{\infty }\dfrac{dx}{x^{2}}.\qquad(5)$

2. As for $I_1$ consider two cases. (a) If $n\geq 1$ observe that $\lim_{x\rightarrow 0}e^{-x}x^{n-1}=0$ , so $I_1$ is a proper integral. (b) If $0<n<1$ , the integrand $e^{-x}x^{n-1}$ behaves like $x^{n-1}$ near $n=0$ , because $e^{-x}\rightarrow 1$ as $x\rightarrow 0$ . Since

$\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{x^{1-n}}\qquad(6)$

is convergent if and only if $1-n<1$ , i.e. $n>0$ , so is $I_1$ . It follows that $\Gamma(n)=I_1+I_2$ is convergent for $n>0.$

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Por que a matemática é importante na Física?

Arquivado em 5 Maio 2012 por Cibele Sidney @ FÍSICA SEM EDUCAÇÃO

Essa
sempre foi uma questão muito importante para mim. Nunca me conformei com o
jeito como a Física é ensinada nem com o conteúdo das apostilas nas escolas
públicas, no ensino médio. Não podemos tirar a matemática da Física e, sim,
ensiná-la como uma nova linguagem, desde o ensino fundamental, como ensinamos a
gramática. Nesse texto do site http://www.quantumdiaries.org/, onde Byron Jennings, um físico nuclear, faz um
artigo sobre a importância da matemática e os argumentos racionais da ciência,
ele fala exatamente sobre a importância da matemática na Física.

E
eu achei muito legal! Vale a pena ler. Por isso traduzi e resumi, mas se
quiserem ler na íntegra, entrem no site e leiam esse e outros artigos
interessantíssimos do mundo da Física Quântica:

“O
papel da matemática e os argumentos racionais da ciência”

Os
cientistas usam a matemática para saber como funciona o Universo e, com isso, fazer
previsões precisas e, assim, através dela, poderem ser testadas
experimentalmente. Mas não é só isso.

Nem
toda ciência tem a matemática envolvida e vice-versa. A astrologia, por
exemplo, utiliza uma matemática precisa para calcular as previsões planetárias,
mas isso não faz dela ciência. Charles Darwin e Carl Linnaeus em suas obras
sobre a Classificação dos seres vivos e a
Evolução são exemplos de ciência que foram feitas sem muita matemática (nem
por isso deixaram de ser ciência).

(A escola de Athenas – no centro Platão e Aristóteles. Fonte:http://polegaropositor.com.br/filosofiadaciencia/dicotomias-sem-nexo/)

Os
antigos filósofos gregos Platão e Aristóteles consideravam, também, o uso da
matemática para descrever as suas observações.

Galileu
foi criticado por usar a matemática para descrever o movimento. No entanto,
desde então, o uso da matemática foi utilizado para descrever fenômenos
físicos.

O
fundamento matemático é um novo conjunto de ideias. Para o nosso propósito,
partindo do ponto de vista científico, tudo o que precisamos saber é que nos
ajuda a fazer previsões mais precisas. Nós usamos porque funciona. E isso é
tudo.

A
matemática está tão entrelaçada como parte da Física que se tornou, de fato,
uma linguagem. Isso é o que torna a Física verdadeira, a matemática é parte
integral do pensamento científico. Quando os físicos discutem, equações fluem.
A matemática continua sendo uma ferramenta totalmente integrada no processo da
ciência.

Pessoas
que não têm uma formação sólida em matemática são, de certa forma, alienadas da
ciência. Podem até traduzir a linguagem matemática para a linguagem comum, mas,
algo sempre se perde nessa tradução, em se tratando da mecânica quântica – ou
ainda, no caso das partículas, na Física Moderna, a coisa é pior – daí surgem
absurdos como o nome “partícula de deus”.…

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Equação quártica simétrica

Arquivado em 2 Maio 2012 por Américo Tavares @ Problemas Teoremas

A determinação das quatro soluções da equação quártica simétrica

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0\qquad (1)$

é bastante fácil, como passo a explicar. Não sendo o termo constante $a$ nulo $x=0$ não é raíz da equação. Dividindo por $x^2$ fica

$\begin{aligned}ax^{2}+bx+c+bx^{-1}+ax^{-2}&=0\\a\left( x^{2}+x^{-2}\right) +b\left( x+x^{-1}\right) +c&=0\end{aligned}$

Fazendo a seguinte mudança de variáveis

$z=x+x^{-1}\qquad (2)$

obtemos

$x^{2}+x^{-2}=z^{2}-2$

$\begin{aligned}a\left( z^{2}-2\right) +bz+c&=0\\az^{2}+bz+c-2a&=0\end{aligned}$

Esta equação em $z$ tem as duas raízes

$z_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{2a}$

$z_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{2a}.$

Resolvendo $(2)$ em ordem a $x$ , tem-se

$x=\dfrac{1}{2}z\pm\dfrac{1}{2}\sqrt{z^{2}-4}=\dfrac{1}{2}z\pm\sqrt{\dfrac{z^{2}}{4}-1}$

donde as quatro soluções de $(1)$ são

$\begin{aligned}x_{1}&=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{4a}+\sqrt{\dfrac{\left( -b+\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}\right) ^{2}}{16a^{2}}-1}\\x_{2}&=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{4a}-\sqrt{\dfrac{\left( -b+\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}\right) ^{2}}{16a^{2}}-1}\end{aligned}$

$\begin{aligned}x_{3}&=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{4a}+\sqrt{\dfrac{\left( -b-\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}\right) ^{2}}{16a^{2}}-1}\\x_{4}&=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{4a}-\sqrt{\dfrac{\left( -b-\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}\right) ^{2}}{16a^{2}}-1}.\end{aligned}$

Artigo relacionado: Resolução da equação do 4.º grau (ou quártica)

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Dia mundial do livro – Os Problemas da Matemática de Ian Stewart

Arquivado em 23 Abril 2012 por Américo Tavares @ Problemas Teoremas

Em 1996 tomei conhecimento da demonstração de Roger Apéry da irracionalidade da série dos inversos dos cubos perfeitos no livro Os Problemas da Matemática, de Ian Stewart, editado entre nós pela Gradiva. Na secção Uma demonstração que escapou a Euler do capítulo 4 (O livro esquecido de Euclides) o autor cita (deste artigo que descobri posteriormente) Alf van der Poorten, quanto às reacções dos matemáticos presentes na conferência de Apéry em 1978.

« O cepticismo era geral. A palestra tendeu a fortalecer esta visão de completa incedulidade. Aqueles que a escutaram sem interesse, ou que estavam limitados por não serem francófonos, pareciam ouvir uma sequência de asserções pouco prováveis. »

No capítulo 2 — O preço da primalidade –, fiquei a saber que $2^{67}-1$ é o número de Cole $2^{67}-1$ , o que responde à questão 2 desta minha entrada.

Recomendo este entusiasmante livro de divulgação, embora não saiba se existe uma edição mais recente.

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Os números da forma n^4 + 4 são compostos

Arquivado em 21 Abril 2012 por Américo Tavares @ Problemas Teoremas

Chan colocou no Mathematics Stack Exchange a questão de justificar porque é que os números da forma $n^4+4$ eram compostos.

Tradução da minha resposta:

Pode-se factorizar algebricamente $n^{4}+4$ , determinando as quatro raízes de $n^{4}+4=0$ .

Dado que $n^{4}+4=0\Leftrightarrow n^{4}=4e^{i\pi }$ , tem-se

$\begin{aligned}n&=4^{1/4}e^{i\left( \dfrac{\pi +2k\pi }{4}\right) }\quad k=0,1,2,3\\ &\\n&=\sqrt{2}e^{i\left( \dfrac{\pi }{4}\right) }=1+i\quad \left( k=0\right)\\n&=\sqrt{2}e^{i\left( \dfrac{3\pi }{4}\right) }=-1+i\quad \left( k=1\right)\\n&=\sqrt{2}e^{i\left( \dfrac{5\pi }{4}\right) }=-1-i\quad \left( k=2\right)\\n&=\sqrt{2}e^{i\left( \dfrac{7\pi }{4}\right) }=1-i\quad \left( k=3\right).\end{aligned}$

E combinando os factores complexos conjugados, obtemos

$\begin{aligned}n^{4}+4&=\left( n-1-i\right) \left( n+1-i\right) \left( n+1+i\right) \left( n-1+i\right)\\&=\left( \left( n+1-i\right) \left( n+1+i\right) \right) \left( \left( n-1-i\right)\left( n-1+i\right) \right)\\&=\left( n^{2}+2n+2\right) \left( n^{2}-2n+2\right) \end{aligned}$

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Substituição de Euler para primitivar expressões irracionais quadráticas

Arquivado em 20 Abril 2012 por Américo Tavares @ Problemas Teoremas

Nesta minha resposta, no Mathematics Stack Exchange sugeri o seguinte método de substituição para calcular o seguinte integral, nesta questão de Dave

$\displaystyle\int\dfrac{dx}{x\sqrt{1+x+x^2}}$

Dado que o integrando é uma função irracional quadrática do tipo $R(x,\sqrt{1+x+x^{2}})$ , pode usar-se a substituição de Euler $\sqrt{1+x+x^{2}}=x+t$ . Obtém-se

$\begin{aligned}\displaystyle\int\dfrac{dx}{x\sqrt{1+x+x^{2}}}&=\displaystyle\int \dfrac{2}{t^{2}-1}\,dt\\&=-2\text{arctanh }t+C\\&=-2\text{arctanh}\left( \sqrt{1+x+x^{2}}-x\right)+C.\end{aligned}$

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Blogs de Ciência

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