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“OS INFINITOS” DE BANVILLE

Na secção de livros do "New York Times" de hoje a recensão do último livro de John Banville

THE INFINITIES 273 pp. Alfred A. Knopf. $25.95

começa assim:

"What, if any, is the desirable intersection of the finite and the infinite, the mortal and the divine? That’s the question John Banville asks in his latest novel. Or perhaps that metaphysical query is only a bluff. Perhaps what “The Infinities” is really about is how much you can get away with if you’re a genius, a game-changer, a master (literally) of the universe."

Para mais ler aqui.Continue a ler “OS INFINITOS” DE BANVILLE

De Rerum Natura Categorias: Ciência Geral, Livros, Matemática, literatura, te

Duas Questões de Exame de Introdução à Análise Complexa: Contribuição do Prof. Paulo Sérgio

Publico a resolução apresentada pelo Prof. Paulo Sérgio (nestes dois comentários) às duas questões seguintes.

Duas questões de Análise Complexa (listadas também aqui)

« Nota de 27-5-2009: o blogue echoone deixou de estar disponível.

Passagem do blogue

http://echoone.wordpress.com/, entrada Introductory Complex Analysis Final

(tradução e adaptação do inglês). »

« (…) Demonstre que as equações de Cauchy-Riemann se escrevem em coordenadas polares

$u_r=\dfrac{v_\theta}{r}$

$v_r=-\dfrac{u_\theta}{r}$

(…) Determine o valor de

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin^{2}x}{x^2}dx$ (…) »

Resolução :

Seja $f(z)=u+iv$ , satisfazendo $u_{x}=v_{y}$ e $u_{y}=-v_{x}$ .

Sendo

$u=u(x,y)$ , $v=v(x,y)$ ,

$x=x(r,\theta )=r\cos \theta$ e $y=y(r,\theta )=r\sin \theta$ .

Assim,

$u_{r}=u_{x}x_{r}+u_{y}y_{r}=u_{x}\cos \theta +u_{y}\sin \theta$

$=v_{y}\cos \theta -v_{x}\sin \theta =\dfrac{v_{y}r\cos \theta +v_{x}\left( -r\sin \theta \right) }{r}$

$=\dfrac{v_{\theta }}{r}$

A outra é análoga.

A resolução da integral está neste link.

http://img63.imageshack.us/img63/7049/integrald.png

–

Transcrição:

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}x}{x^2}dx=\dfrac{\pi }{2}$ .

De fato,

$\dfrac{1}{s^{2}}=\mathcal{L}\{x\}=\displaystyle\int_{0}^{\infty }xe^{-sx}dx$ .

Assim,

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}s}{s^{2}}ds=$ $\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-sx}x\sin ^2 s\;dx\,ds$ $=\displaystyle\int_{0}^{\infty }x\left( \displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-sx}\sin ^{2}s\;ds\right) dx$

Sendo

$\sin ^{2}s=\dfrac{1-\cos 2s}{2}$ ,

temos:

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}s}{s^{2}}ds=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}x\left[ \mathcal{L}\{1\}-\mathcal{L}\{\cos \left( 2s\right) \}\right] dx$ $=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty }x\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{x^{2}+4}\right) dx$

Logo,

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}s}{s^{2}}ds=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\left( \dfrac{4}{x^{2}+4}\right) dx=$ $\arctan \left. \left( \dfrac{x}{2}\right) \right\vert _{0}^{\infty }=\dfrac{\pi }{2}$

* * *

5.04.10 – Notas (de Américo Tavares) sobre a notação aqui utilizada

i. derivadas parciais

Exemplo: $u_{x}=\dfrac{\partial u(x,y)}{\partial x}$

ii. transformada de Laplace

A transformada de Laplace de uma função $F\left( t\right)$ , definida para $t>0$ , é o integral

$\mathcal{L}\left\{ F\left( t\right) \right\} =f\left( s\right) =\displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-st}F\left( t\right) \;dt$

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Américo Tavares @ problemas | teoremas Categorias: Análise Complexa, Ciência Geral, Exercise, Exercício, Exercícios, Integrais, Integrais impróprios, Matemática, Problem, calculo, exames, math, problema

A matemática de Alice (no País das Maravilhas)

Estreia amanhã (4 de Março) nos cinemas portugueses a aguardada versão cinematográfica de Alice no País das Maravilhas, segundo a lente de Tim Burton.

Não é garantido que a questão tenha a mesma expressão na tela, mas a estreia volta a colocar Alice no centro do mundo e, aqui entre nós, a curiosidade científica que envolve a obra de Lewis Carroll (pseudónimo do matemático britânico Charles Lutwidge Dodgson) também volta à baila. Jogos de cartas, enigmas, problemas de lógica formam um dos grandes motores da força das personagens do livro. E tal dificilmente será por acaso, não derivassem as palavras da caneta de um matemático.

O divulgador de ciência português, Nuno Crato, assina semanalmente uma coluna de opinião no Semanário Expresso e dedicou as últimas três aos mistérios científicos de Alice no País das Maravilhas. Contemos com ele.

Um (17 de Fevereiro): «Os trocadilhos e as pequenas brincadeiras revelam uma preocupação com o significado das palavras e expressões e a construção de contradições derivadas de ambiguidades. É um uso da lógica e da matemática que ainda hoje surpreende os leitores»

Dois (24 de Fevereiro): « Os dois livros de Alice revelam o humor de um matemático que brinca com a lógica e faz alusões veladas a temas científicos. A maioria das vezes, as alusões são indirectas, e muito se tem discutido sobre algumas passagens. Logo no capítulo 2, por exemplo, Alice parece enganar-se nas contas: “quatro vezes cinco é doze, e quatro vezes seis é treze, e quatro vezes sete – oh! Assim nunca mais chego a vinte!»

Três (3 de Março): «Mais à frente, no capítulo 4, aparece um gigantesco corvo que escurece subitamente a cena e interrompe a luta entre os dois caricatos irmãos. O episódio parece ter sido inspirado numa história verídica de uma batalha do século VI a. C. O biólogo e evolucionista britânico J. B. S. Haldane, nascido em Oxford em 1892, quando o autor de Alice ainda aí residia e trabalhava, não tem dúvidas. No seu livro de ensaios “Possible Words” (1927, p. 8), diz que “A verdadeira história é a seguinte: Aliates, rei da Lídia, estava há cinco anos em guerra com Ciaxares, rei dos Medos. No seu sexto ano, em 28 de Maio de 585 a. C., como se sabe, a batalha foi interrompida por um eclipse total do Sol. Os reis pararam a batalha”. Nas palavras do historiador grego

…

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Sílvio Mendes @ viveraciencia.wordpress.com Categorias: Alice in Wonderland, Alice no País das Maravilhas, Arte e Ciência, Charles Lutwidge Dodgson, Cientistas portugueses, Ciência Geral, Comunicação de Ciência, Divulgação de Ciência, Matemática, Semanário Expresso, Tim Burton, cinema, lewis carroll, nuno crato

Quantas vezes conseguem dobrar um papel?

Vamos imaginar que dobramos um enorme pedaço de papel ao meio. Depois dobramos mais uma vez, e outra vez, e assim por diante. Quantas vezes conseguimos dobrar o nosso pedaço de papel?

Normalmente conseguimos dobrar uma folha A4 apenas 6 vezes e dificilmente se consegue dobrar um pedaço maior mais do que 7 vezes. Experimentem!
.
Mas vamos imaginar que conseguimos dobrar um pedaço de papel 51 vezes. No final qual seria a espessura do nosso papel? Dez centímetros? 50 centímetros? Um metro? Cinquenta metros? Um quilómetro?
.
A resposta é mais de 150.000.000 km! Sim, cento e cinquenta milhões de quilómetros! No final obteríamos uma torre que se estenderia para lá do Sol!
.
Quando dobramos o papel a primeira vez obtemos uma espessura duas vezes maior do que a da folha inicial. Quando dobramos a segunda vez será quatro vezes mais espesso. Cada vez que dobramos uma vez duplicamos a espessura em relação ao dobramento anterior. Depois dos primeiros dobramentos os números tornam-se imediatamente muito grandes. Vamos ver como:
.

.
Primeira dobra...2 folhas

Segunda dobra... 4 folhas

3ª - 8 folhas

4ª - 16 folhas

5ª - 32 folhas

6ª - 64 folhas

7ª - 128 folhas

8ª - 256 folhas

………….

40ª - 1.000.000.000.000 folhas

…………

50ª - 1.000.000.000.000.000 folhas (espessura=100.000.000 km)

51ª – Espessura = 200.000.000 km

E passámos o Sol!

(Distância da Terra ao Sol = 149.597.871 km )

Adaptado de: Burguer, E.D. and Starbird, M., 2005. Coincidences, Chaos and All That Math Jazz. Norton. New York

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joao_moedas @ T Categorias: Ciência, Ciência Geral, Matemática, Números

9 Problemas e Exercícios já publicados mas ainda Não Resolvidos

Agrupo aqui todos os Problemas e Exercícios já publicados mas ainda Não Resolvidos de todos os níveis.

(a) Problema sobre a convergência de um integral impróprio :: An Improper Integral Convergence Problem

Demonstre ou infirme: o integral / Prove or disprove: the integral

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty }\dfrac{1}{e^{2x}\left( 1-e^{-x}\right) ^{2}}dx}$

é convergente / converges.

(b) 1.º Problema de 2010: um integral de Stieltjes :: 2010 Problem #1 – A Stieltjes Integral

Prove que/prove that

$\zeta \left( 2\right) =\dfrac{p}{q}\displaystyle\int_{-1}^{\sqrt{3}}\arctan (x)\,d\left( \arctan (x)\right)$ ,

where/em que $(p,q)\in\mathbb{Z}^{2}$ .

(c) Sobre a natureza aritmética da soma e diferença de π (pi, a constante de Arquimedes) e e (constante ou número de Euler)

Sabe por que motivo é que a soma $s=\pi+e$ e a diferença $d=\pi-e$ não podem ser simultaneamente números algébricos?

Se não sabe, não consegue descobrir por si, e quer saber, veja no artigo recente Mathematical Embarassments, do Prof. Dick Lipton a explicação em três linhas (ou menos). Quanto a ambos ( $s$ e $d$ ) serem transcendentes, desconhece-se. Isto é uma questão matemática “embaraçosa”, na opinião do autor do blogue Gödel’s Lost Letter and P=NP.

(d) Three gamma function identities

Let $n=1,2,\ldots$ . Show that

$\sqrt{\pi}\;\Gamma (2n+1)=2^{2n}\Gamma\left( n+\dfrac{1}{2}\right) \Gamma (n+1)\qquad\left( 1\right)$

and

$\sqrt{\pi}\;\Gamma (2n)=2^{2n-1}\Gamma (n)\Gamma\left( n+\dfrac{1}{2}\right)\qquad \left( 2\right)$ .

Let $x\in\mathbb{R}$ . If $x>0$ , show that

$\sqrt{\pi}\;\Gamma (2x)=2^{2x-1}\Gamma (x)\Gamma\left( x+\dfrac{1}{2}\right)\qquad \left( 3\right)$ .

Hints: for the first two identities use the formula proved here. As for the last one evaluate the beta function value B $(x,x)$ and by means of an appropriate change of variable find a relation between B $(x,x)$ and B $\left(x,\dfrac{1}{2}\right)$ .

(e) Exercício rotineiro, mas trabalhoso, sobre extremos (máximos e mínimos) de uma função trigonométrica

Determine os valores máximos e mínimos assumidos pela função trigonométrica periódica

$f(t)=\left( \cos t+2\sin t\right) ^{2}+\left( 3\cos t+2\sin t\right) ^{2}$ ,

representada no gráfico, no intervalo $\left[ -\pi ,\pi \right] .$

Passos de uma possível resolução:

1 – Desenvolver $f(t)$ e obter $f(t)=16\cos t\sin t+10\cos^{2}t+8\sin^{2}t$ .

2 – Calcular a derivada de $f(t)$ : $f^{\prime}(t)=16\cos 2t-2\sin 2t$ .

3 – Resolver a equação $f^{\prime}(t)=0$ e obter as soluções

$t\in\left\{ \dfrac{\arctan 8}{2}+\dfrac{k\pi }{2}:k\in\mathbb{Z}\right\}$ lados, um circunscrito e o outro inscrito num círculo de raio $r$ , têm perímetros iguais a, respectivamente, $P$ e $p$ .

Determine $p$ em função de $P,n$ e $r$ .
Prove que, quando $n$ tende para infinito, $p/P\rightarrow 1$ .

Sugestão: observe as figuras seguintes: o desenho animado, em

http://geometrias.eu/deposito/polinscircuns.html

(Criado com GeoGebra por Arsélio Martins e aqui incluído em 2.03.10)

ou este

Construção auxiliar

Adenda: inspirado nas páginas 160-161, da 3.ª edição do livro francês, de F. G.-M., 1917 (com 735 páginas e 3.ª edição de Maison Alfred Mame et Fils, Tours e J. de Gigord, Paris), Cours de Géometrie Élémentaire.

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Américo Tavares @ problemas | teoremas Categorias: Ciência Geral, Geometria, Matemática, Matemática-secundário, problema

Discalculia — o que é isso?

Discalculia está para os números como a dislexia para as palavras. O último especial da Sience et Vie trata desenvolvidamente desta desordem, que se pode manifestar de formas diferentes: a visio-espacial, logico-matemática, procedimental, cálculo aritmético, leitura e escrita dos números. Há duas teoria para a explicar. O que é que está afectado? É o sentido do número ou a capacidade de abstracção? As investigações estão apenas no seu início. A própria dislexia ainda é debatida, quanto às suas causas, que continuam a ser desconhecidas.

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Américo Tavares @ problemas | teoremas Categorias: Ciência Geral, Ensino, Geral, Matemática, Matemática-Básico, Matemática-secundário

Problema sobre a convergência de um integral impróprio :: An Improper Integral Convergence Problem

Demonstre ou infirme: o integral / Prove or disprove: the integral

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty }\dfrac{1}{e^{2x}\left( 1-e^{-x}\right) ^{2}}dx}$

é convergente / converges.

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Loja de Matemática on line

Informação recebida da Sociedade Portuguesa de Matemática (SPM):

As novidades da loja da SPM já estão à distância de um clique. A partir de agora já pode efectuar todas as suas consultas e encomendas através do site. A SPM criou este espaço especialmente a pensar nos seus sócios, que, desta forma, podem fazer as suas encomendas com comodidade e a preços especiais. Num formato prático e funcional, a loja online permite-lhe estar sempre actualizado sobre o que é publicado em Portugal na área da matemática. Conheça as novidades, consulte as sinopses e não deixe de visitar as secções de VHS, CD e DVD e também de jogos didácticos. Faça a sua visita ainda hoje!Continue a ler Loja de Matemática on line

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