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Archive for the Matemática

Using Math on dating- not a good idea!

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Patrícia Raposo @ Quarks e Gluões Categorias: Cartoons, Ciência Geral, Humor, Matemática

série matemática 6: jornada ao centro de um triângulo

Aproveito a ótima dica do Igor Zolnerkevic para retomar a série matemática aqui no blog com a animação Jornada ao centro de um triângulo, de 1977, que mostra como é feita a determinação de diversos tipos de centros (circuncentro, ortocentro etc) em uma variedade de triângulos.

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trnahas @ ciência na mídia Categorias: Ciência Geral, Matemática, centroide, circuncentro, ortocentro, triângulo

Republicação temporária de “Séries de Fourier 1 – Sistemas de Funções Ortogonais”

pdf: ver caderno

Começo por considerar sistemas de funções ortogonais para desenvolver a questão da representação de uma função em série do tipo

$f(x)=\displaystyle\sum_{n} c_{n}\phi_{n}(x)$

em que $\phi_{n}(x)$ são precisamente funções ortogonais em $\lbrack a ,b\rbrack$ .

Chamam-se funções ortogonais às funções [complexas de variável real] que satisfazem as seguintes condições:

$\displaystyle\left ( \phi _{n}\cdot \overline{\phi }_{m}\right)=\displaystyle\int_{a}^{b}\phi_{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{m}\left( x\right) \;dx=0\qquad \text{para }n\neq m$

$\displaystyle\left ( \phi _{n}\cdot \overline{\phi }_{m}\right)=\displaystyle\int_{a}^{b}\phi_{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{m}\left( x\right) \;dx>0\qquad \text{para }n=m$

Revestem-se de grande interesse nas aplicações as funções do tipo $\cos nx$ e $\sin nx$ .

Chama-se norma de um sistema de funções ortogonais a

$\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert =\sqrt{\left( \phi_{n}\cdot \overline{\phi }_{n}\right) }=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\int_{a}^{b}\phi _{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{n}\left( x\right) \;dx}$ .

Um sistema ortogonal diz-se ortonormado se a sua norma for igual à unidade: $\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert =1$ .

Exemplo 1: $\phi_{n}\left( x\right) =e^{inx}$ definida em $\lbrack -\pi ,\pi\rbrack$ .

$\displaystyle\left ( \phi _{n}\cdot \overline{\phi }_{m}\right)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\phi_{n}\left( x\right) \,\overline{\phi }_{m}\left( x\right) \;dx$

$=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}e^{inx}\, e^{-imx}\;dx=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}e^{i\left( n-m\right)x} \;dx =\dfrac{1}{i\left( n-m\right)}\times$ $\left[ e^{i\left( n-m\right) x}\right] _{-\pi }^{\pi }$

$=0\qquad \text{para }n\neq m$

$=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\;dx=2\pi\qquad \text{para }n=m$

$\left\vert \left\vert e^{inx}\right\vert \right\vert =\sqrt{2\pi}$ . $\blacktriangleleft$

Consideremos uma função de variável real $f(x)$

$f(x)=\displaystyle\sum_{n}c_{n}\phi_{n}(x)\qquad a\le x\le b$

e as seguintes hipóteses:

a série converge;
converge para $f(x)$

Multiplicando a série por $\overline{\phi }_{n}(x)$ vem

$f(x)\overline{\phi }_{n}(x)=\displaystyle\sum_{m} c_{m}\phi_{m}(x)\overline{\phi }_{n}(x)$

$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{\phi }_{m}(x)\; dx=\displaystyle\sum_{m} c_{m}\int_{a}^{b}\phi_{m}(x)\overline{\phi }_{n}(x)\; dx$

porque pode trocar-se a ordem de $\displaystyle\int$ e $\displaystyle\sum$ , se admitirmos a convergência uniforme da série no intervalo $\lbrack a ,b\rbrack$ . Assim,

$\displaystyle\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)=c_{n}\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}$ ,

ou seja,

$c_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}$

Aos coeficientes $c_n$ chamam-se os coeficientes de Fourier. À série chama-se série de Fourier relativa ao conjunto de funções ortogonais $\phi_n(x)$ .

NOTA: esta dedução não é rigorosa!

Consideremos uma função $f(x)$ de quadrado integrável no intervalo $\left[ a,b \right]$ . Vamos aproximar $f(x)$ por uma expressão da forma

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_n\phi_n(x)$

Seja $\epsilon$ o erro quadrático médio. Vamos impor que $\epsilon^2$ seja mínimo.

$\epsilon^2=$ $\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_n\phi_n(x)\right\vert^2\; dx$

o que é o mesmo que

$(b-a)\epsilon^2=$ $\displaystyle\int_{a}^{b}$ $|f(x)|^2$ $\; dx$ $-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $\dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n|^2}{||\phi_n||^2}$

$+\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $\left\vert c_n\times||\phi_n||-\dfrac{1}{||\phi_n||}\times (f\cdot\overline{\phi}_n)\right\vert ^2$ .

DEDUÇÃO:

Dados dois complexos $z$ e $w$ , verifica-se

$|z-w|^2=(z-w)\overline{(z-w)}=|z|^2+|w|^2-z\overline{w}-\overline{z}w$ .

Assim, tem-se

$\left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)\right\vert ^{2}=$ $\left\vert f(x)\right\vert^{2}$ $+\left\vert\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}\right\vert^{2}$ $-f(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\overline{c}_{n}\overline{\phi}_{n}(x)$ $-\overline{f}(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)$ ,

$\left\vert\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)\right\vert ^2=\left (\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}\right )\overline{\left (\displaystyle\sum_{m=1}^{N}c_{m}\phi_{m}\right )}=\displaystyle\sum_{n,m=1}^{N}c_{n}\overline{c}_{m}\phi_{n}(x)\overline{\phi}_{m}(x)$

$\left\vert c_n||\phi_n||-\dfrac{1}{||\phi_n||}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{\phi}_n(x)\; dx\right\vert ^2$ $=|c_n|^2||\phi_n||^2$ $+\left\vert\dfrac{1}{||\phi_n||}\displaystyle\int f(x)\overline{\phi}_{n}(x)\; dx\right\vert ^2$ $-c_{n}||\phi_n||\dfrac{1}{||\phi_n||}\displaystyle\int_{a}^{b}\overline{f(x)}\phi_{n}(x)\; dx$ $-\overline{c}_{n}||\phi_n||\dfrac{1}{||\phi_n||}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{\phi}_{n}\; dx$

donde vai resultar

$\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)\right\vert ^{2}\; dx=$ $\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)\right\vert^{2}\; dx$ $+\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}\right\vert^{2}\; dx$ $-\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\overline{c}_{n}\overline{\phi}_{n}(x)\; dx$ $-\displaystyle\int_{a}^{b}\overline{f}(x)\displaystyle\sum_{n=1}^{N}c_{n}\phi_{n}(x)\; dx$

$=\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)\right\vert ^2\; dx$ $-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n)|^2}{||\phi_n||^2}$ $+\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left\vert c_{n}||\phi_n||-\dfrac{(f\cdot\overline{\phi}_n}{||\phi_n||}\right\vert ^2$ ,

ou seja, a fórmula acima que se repete:

$(b-a)\epsilon^2=$ $\displaystyle\int_{a}^{b}$ $|f(x)|^2$ $\; dx$ $-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $\dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n|^2}{||\phi_n||^2}$

$+\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $\left\vert c_n\times||\phi_n||-\dfrac{1}{||\phi_n||}\times (f\cdot\overline{\phi}_n)\right\vert ^2$ .

Os termos

$\displaystyle\int_{a}^{b}$ $|f(x)|^2$ $\; dx$ $-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $\dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n|^2}{||\phi_n||^2}$

são independentes de $c_n$ . Para minimizar $\epsilon$ deve ter-se

$c_{n}\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert =\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert}$

que é equivalente a

$c_n=\dfrac{\left ( f\cdot \overline{\phi }_{n}\right)}{\left\vert \left\vert \phi _{n}\right\vert \right\vert ^{2}}$

ou a

$|c_n|^2||\phi_n||^2=\left\vert\dfrac{(f\cdot\overline{\phi}_n)}{||\phi||^2}\right\vert ^{2}||\phi_n||^2$ $=\dfrac{|(f\cdot\overline{\phi}_n)|^2}{||\phi_n||^2}$

Vimos então que os coeficientes da série de Fourier $c_n$ minimizam o erro quadrado médio.

$(b-a)\epsilon_{\text{min}}^2=$ $\displaystyle\int_{a}^{b}$ $|f(x)|^2$ $\; dx$ $-\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $|c_n|^2||\phi_n||^2\ge 0$

Fazendo tender $N$ para infinito, no limite tem-se a desigualdade de Bessel

$\displaystyle\int_{a}^{b}$ $|f(x)|^2$ $\; dx$ $\ge\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}$ $|c_n|^2||\phi_n||^2$ .

Se o sistema for ortonormado, $||\phi_n||=1$ , e

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $|c_n|^2\le\displaystyle\int_{a}^{b}$ $|f(x)|^2\; dx$ $=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\overline{f}(x)\; dx=||f||^2$

Para as funções de quadrado integrável, a série

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}$ $|c_n|^2||\phi_n||^2$

converge. A seguinte igualdade verifica-se, se e só se, o erro quadrático médio for nulo; então, será

$\displaystyle\int_{a}^{b}$ $|f(x)|^2$ $\; dx$ $=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}$ $|c_n|^2||\phi_n||^2$

e o sistema de funções $\phi_{n}(x)$ é completo. Então

$\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(x)-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\phi_{n}(x)\right\vert ^{2}\; dx=0$ .

Nestas condiçoes, diz-se que a série de Fourier converge em média para $f(x)$ , mas a convergência não é necessariamente uniforme. Por definição uma série converge uniformemente para uma função quando simbolicamente se verificar

$\underset{\varepsilon >0}{\forall }\;$ $\underset{N_{1}}{\exists }\;$ $\underset{x\in \lbrack a,b]}{\forall }\;$ $N>N_{1}\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -\sum_{n=1}^{N}c_{n}\,\phi _{n}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon$

Para cada $\varepsilon >0$ , existe um inteiro $N_{1}$ tal que, $N>N_{1}$ implica $\left\vert f\left( x\right) -\sum_{n=1}^{N}c_{n}\,\phi _{n}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon$ , para todo o $x$ no intervalo $\lbrack a ,b\rbrack$ . O facto essencial é que $N_{1}$ é independente de $\varepsilon .$ Normalmente dependeria de $\varepsilon .$

Continua em Séries de Fourier 2 – Relação de Parseval.

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Américo Tavares @ problemas | teoremas Categorias: Análise de Fourier, Ciência Geral, Matemática

Equações cúbicas e quárticas

Para comodidade de leitura, reuno aqui as duas entradas publicadas em Maio sobre a resolução destas equações:

Equação cúbica

A forma canónica da equação cúbica ou do 3.º grau é

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\qquad$ com $a\neq 0\qquad \left( 1\right)$

O método de resolução usual começa por transformá-la noutra, fazendo a substituição $x=t+h$ :

$a\left( t+h\right) ^{3}+b\left( t+h\right) ^{2}+c\left( t+h\right) +d=0$

$at^{3}+\left( b+3ah\right) t^{2}+\left( c+2bh+3ah^{2}\right) t+d+ch+ah^{3}+bh^{2}=0$

Dividindo por $a$ e ordenando o polinómio do lado esquerdo pelas potências decrescente de $t$ , obtemos — se escolhermos $h=-\dfrac{b}{3a}$

$x=t-\dfrac{b}{3a}\qquad \left( 2\right)$

– uma nova equação cúbica (em $t$ ) à qual falta o termo do 2.º grau:

$t^{3}+pt+q=0\qquad \left( 3\right)$

cujos coeficientes são:

$p=\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^{2}}{3a^{2}}\qquad \left( 4\right)$

$q=\dfrac{2b^{3}}{27a^{3}}-\dfrac{bc}{3a^{2}}+\dfrac{d}{a}\qquad\left( 5\right)$

Se exprimirmos a variável $t$ na soma de duas outras

$t=u+v\qquad \left( 6\right)$

a equação $\left( 3\right)$ transforma-se em

$\left( u^{3}+v^{3}+q\right) +\left( 3uv+p\right) \left( u+v\right) =0\qquad (7)$

Uma solução de $(7)$ é a dada pelo sistema em $u$ e $v$

$\left\{ \begin{array}{c}u^{3}+v^{3}=-q\\u^{3}v^{3}=-\dfrac{p^{3}}{27}\end{array}\right.\qquad \left( 8\right)$

Somos assim conduzidos ao problema de achar dois números $u^{3}$ e $v^{3}$ dos quais se sabe a soma $S=u^{3}+v^{3}=-q$ e o produto $P=u^{3}v^{3}=-\dfrac{p^{3}}{27}$ . Como é bem sabido esses números são as duas soluções $Y_{+}$ e $Y_{-}$ da equação auxiliar do 2.º grau:

$Y^{2}-SY+P=0\qquad \left( 9\right)$

De facto

$\left\{\begin{array}{c}Y_{+}+Y_{-}=S\\Y_{+}Y_{-}=P\end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{c}Y_{+}+P/Y_{+}=S\\Y_{-}=P/Y_{+}\end{array}\right.$

$\iff\left\{\begin{array}{c}Y_{+}^{2}-SY_{+}+P=0\\Y_{-}=P/Y_{+}\end{array}\right.$

$\left\{ \begin{array}{c}Y_{+}+Y_{-}=S\\Y_{+}Y_{-}=P\end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{c}Y_{-}+P/Y_{-}=S\\Y_{+}=P/Y_{-}\end{array}\right.$

$\iff\left\{\begin{array}{c}Y_{-}^{2}-SY_{-}+P=0\\Y_{+}=P/Y_{-}\end{array}\right.$

Resolvendo-a determinamos

$Y_{+}=\dfrac{S+\sqrt{S^{2}-4P}}{2}=-\dfrac{q}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}=\dfrac{-q+\sqrt{\Delta}}{2}\qquad\left( 10\right)$

$Y_{-}=\dfrac{S-\sqrt{S^{2}-4P}}{2}=-\dfrac{q}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}=\dfrac{-q-\sqrt{\Delta}}{2}\qquad\left( 11\right)$

Nesta notação o discriminante $\Delta$ é igual a

$\Delta =q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}$ .

Consideremos, sem perda de generalidade, $Y_{+}=u^{3}$ e $Y_{-}=v^{3}$ . Introduzindo $(10)$ e $(11)$ em $(6)$ , obtemos a solução $t_{1}=\sqrt[3]{Y_{+}}+\sqrt[3]{Y_{-}}$ :

$t_{1}=\left( \dfrac{-q+\sqrt{\Delta }}{2}\right) ^{1/3}+\left(\dfrac{-q-\sqrt{\Delta}}{2}\right) ^{1/3}$

ou seja

$t_{1}=\left( -\dfrac{q}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}+\left( -\dfrac{q}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}\qquad (12)$

e uma solução da equação inicial

$x_{1}=\left( \dfrac{q}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}+\left( -\dfrac{q}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{q^{2}+\dfrac{4p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}-\dfrac{b}{3a}\quad \left( 13\right)$

Conhecida a solução…

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Américo Tavares @ problemas | teoremas Categorias: Ciência Geral, Matemática, Teorema / Teoria, equações

A tragédia da Matemática no básico

Depoimento que prestei ao "Jornal de Leiria" e publicado no último número sobre os resultados dos exames e Matemática do 9.º ano:

Salta à vista que o ensino da Matemática é um dos maiores problemas nacionais. Os péssimos resultados dos exames do final do ensino básico são apenas um dos indicadores do desprezo pela Matemática que reina entre nós. O Ministério da Educação, que devia estar na primeira linha da defesa da Matemática, pouco ou nada tem feito na área. Pior: procura até esconder o seu falhanço. Os resultados do Plano de Matemática são aqueles que se vêem. Onde estão os relatórios com as conclusões? A tragédia será ainda maior se os responsáveis não forem mudados.Continue a ler A tragédia da Matemática no básico

Carlos Fiolhais @ De Rerum Natura Categorias: Ciência Geral, Matemática, avaliação do ensino

Bases de numeração — dois números brasileiros: 333333 e 2010

Um número $n$ diz-se brasileiro se existir uma base $1<b<n-1$ na qual se escreve com dígitos iguais. (Ver Números dou Brazil, de Choux romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes; ou 2007 est-il un nombre brésilien?, de Les-mathématiques.net)

Da identidade

$n=2+2\left( \dfrac{n}{2}-1\right)$

conclui-se que um número par $n$ se escreve na base $b=\dfrac{n}{2}-1$ com dois dígitos iguais, que são o $2$ :

$n=\left( 22\right) _{b=n/2-1}$

Esta propriedade generaliza-se a um número $n$ múltiplo de $a$ : $n$ escreve-se com dois dígitos $a$ , na base $b=\dfrac{n}{a}-1$

$n=\left( aa\right) _{b=n/a-1}\qquad\text{com }2\leq a\leq n/a-2$

que resulta da identidade

$n=a+a\left( \dfrac{n}{a}-1\right)$

Aplicando a $n=2010$ , podemos escrever, usando dígitos apenas até 9

$\left( 2010\right) _{10}=\left( 22\right) _{1004}=\left( 33\right) _{669}=\left( 55\right) _{401}=\left( 66\right) _{334}$

Quanto a $333333$ é um número brasileiro na base 10, mas também nas bases $b=111110$ , $47618$ ou $370363$ , nas quais se escreve

$\left( 333333\right) _{10}=\left( 33\right) _{111110}=\left( 77\right) _{47618}=(99)_{37036}$

Se podermos utilizar dígitos superiores a 9, por exemplo, $\alpha,\beta$ , tal que $\left( \alpha \right) _{10}=10$ , $\left( \beta \right) _{10}=11$ será

$\left( 333333\right) _{10}=\left( \beta \beta \right) _{30302}$

* * *

Curiosidade: hoje foram atingidas as 333333 visualizações deste blogue.

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Américo Tavares @ problemas | teoremas Categorias: Ciência Geral, Matemática, Matemática-secundário, Teoria dos Números

Elegant Proof

Em Abstruse Goose

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Mjosé Vaz da Costa @ Assim como assim Categorias: Ciência Geral, Humor, Matemática

Propriedade dos valores próprios das matrizes hermitianas

Seja $A$ uma matriz de entrada (ou elemento) genérico $a_{ij}$ . Admita que $a_{ij}\in\mathbb{C}$ . Relembremos que a conjugada de $A$ , designada por $\overline{A}$ é a que tem como elemento genérico $\overline{a_{ij}}$ , o conjugado de $a_{ij}$ ; a transconjugada de $A$ é a transposta de $\overline{A}$ , isto é, a matriz $\left( \overline{A}\right) ^{T}$ . Uma matriz $A$ diz-se hermitiana quando coincide com a sua transconjugada: $\left( \overline{A}\right) ^{T}=A$ , logo $\overline{a_{ji}}=a_{ij}$ . Claro que os elementos $a_{11},a_{22},\ldots$ , $a_{ii}$ , $\ldots$ , $a_{nn}$ da diagonal principal de uma matriz hermitiana são todos reais. As raízes $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}$ da equação característica $\det \left( A-\lambda I\right) =0$ , em que $I$ é a matriz identidade, recebem o nome de valores próprios da matriz quadrada $A$ (de $n$ linhas e $n$ colunas).
$\bigskip$

Se a matriz $A$ for de 2.ª ordem, será da forma

$A=\begin{bmatrix}a_{11} & \text{Re}(a_{12})+i\text{Im}(a_{12}) \\ \text{Re}(a_{12})-i\text{Im}(a_{12}) & a_{22}\end{bmatrix}$

sendo a equação característica dada por:

$\det \begin{bmatrix}a_{11}-\lambda & \text{Re}(a_{12})+i\text{Im}(a_{12}) \\ \text{Re}(a_{12})-i\text{Im}(a_{12}) & a_{22}-\lambda \end{bmatrix}=0$

que é equivalente à equação polinomial (quadrática, neste caso):

$\lambda ^{2}-\left( a_{11}+a_{22}\right) \lambda +a_{11}a_{22}-\left\vert a_{12}\right\vert ^{2}=0$

Os valores próprios $\lambda _{1},\lambda _{2}\in\mathbb{R}$ :

$\lambda _{1,2}=\dfrac{1}{2}\left( a_{22}+a_{11}\pm \sqrt{\Delta }\right)$

uma vez que o determinante da equação característica é nulo ou positivo:

$\Delta =\left( a_{22}+a_{11}\right) ^{2}-4\left( a_{11}a_{22}-\left\vert a_{12}\right\vert ^{2}\right) =\left( a_{11}-a_{22}\right) ^{2}+4\left\vert a_{12}\right\vert ^{2}\geq 0$

$\bigskip$

Esta é uma propriedade das matrizes hermitianas de qualquer ordem: se $A$ for uma matriz hermitiana de ordem $n$ , os seus valores próprios $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}$ serão todos reais.

Pode encontrar uma demonstração na entrada Hermitian Matrices de MathPages.

Editado em 22 e 23.07.2010: alterado título e feitas ligeiras alterações ao texto.

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Américo Tavares @ problemas | teoremas Categorias: Ciência Geral, Matemática, Teorema / Teoria, Álgebra Linear

A malvada matemática

Hoje no Jornal da Ciência: Matemática é vilã do Enem.
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É difícil dizer quando o povo vai perder o medo.

A matemática é vista com um Bicho de 7 cabeças

Será um medo cultural? Transmitido dos pais para os filhos? Uma coisa é certa: quando você não sabe nada do assunto e tem que se aventurar para descobrir como funciona, é muito muito MUITO difícil. Outra coisa também é certa: se unir um que sabe e quer ensinar, com o que quer (QUER) aprender, a situação pode mudar a qualquer tempo. Mas muitas vezes nas escolas, quando tem um não tem o outro.

(contribuição: Marcela Ximenes)

A matemática não deve ser considerada uma tortura, mas sim, uma ferramenta "solução".

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Ximenes, F. @ O Universo numa casca de "nós" Categorias: Ciência Geral, ENEM, Matemática, educação

Beautiful mind

John Nash (ao lado, fotografia de Enric Vives-Rubio), o matemático em torno do qual gira a história do filme Uma mente brilhante, de Ron Howard, realizado a partir da biografia de Sylvia Nasar, publicada em finais dos anos noventa, esteve em Portugal como conferencista na 24.ª Conferência Europeia de Investigação Operacional, na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa.

Ana Gerschenfeld, jornalista do Público, entrevistou o Senior Research Mathematician na Universidade de Princeton, de onde resultou uma conversa muito interessante, da qual tomamos a liberdade e transcrever a passagem que se segue:

O seu contributo para a teoria dos jogos foi muito importante. O que é a teoria dos jogos?

A expressão teoria dos jogos é uma descrição popular. A mesma área científica poderia ter tido outro nome. A teoria dos jogos foi desenvolvida com a publicação de um livro [em 1947], por John von Neumann e Oskar Morgenstern, intitulado em inglês Theory of Games and Economic Behavior (Teoria dos jogos e Comportamento Económico), que se tornou muito influente. Mas Von Neumann já tinha publicado na Alemanha em 1928 - o ano em que eu nasci - um artigo intitulado Zur Theorie der Gesellschaftsspiele, que significa "jogos sociais". E antes disso, tinha sido publicado em França um artigo com théorie du jeu no título. Von Neumann também publicou uma nota [em 1928] na Comptes Rendus de l"Académie des Sciences onde falava de théorie des jeux. Foi assim que o nome ficou.

É algo que permite a modelização matemática de comportamentos sociais e económicos?
Sim, mas com a ênfase nas escolhas alternativas e na ideia de estratégia - uma palavra de origem grega que significa a escolha de uma política. Há estratégia no xadrez e noutros jogos. Pode haver uma estratégia no futebol. Só que, aí, as estratégias têm como objectivo fazer com que o outro perca. É o que chamamos um jogo de "soma zero". Todos os jogos de entretenimento e desportivos são desse tipo. Também podem ser de "soma constante", com um certo benefício para ambos os lados, como a final de um Mundial de futebol - mas onde o vencedor beneficia mais do que o outro. E também há jogos onde todos perdem... Sim, são os jogos de soma negativa. Por exemplo, podemos imaginar uma situação em que uma prisão obriga prisioneiros a entrar num duelo onde apenas um irá sobreviver.
(...)
O seu contributo para a teoria

…

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Helena Damião @ De Rerum Natura Categorias: Ciência Geral, Matemática, Vida de cientista