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Archive for the Matemática

Peer instructing

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Razão entre dois termos sucessivos da sucessão (ou sequência) de Fibonacci; relação com os mercados financeiros

No artigo de Arsélio Martins,  Média e extrema razão e número de ouro – comentário à margem, de 2.03.10, do GEOMETRIA, cita-se uma passagem de um «texto de um boletim de um banco português», dos analistas de acções Ramiro Loureiro e Sónia Martins, que transcrevo em parte:

« ‘Na sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …), em que um algarismo é dado pela soma dos dois anteriores, a partir de determinada ordem o rácio de um número dividido pelo seu sucessor é de 61,8%. Este nível, juntamente com o 38,2% (100%-61,8%=38,2%), e o 50%, são chamados de níveis de correcção de Fibonacci. O de 61,8% é tido em conta nas correcções fortes de mercado, enquanto o de 38,2% para correcções mais fracas. Consequentemente, o rácio da divisão de um número na sequência de Fibonacci pelo seu antecessor é  161,8%, logo os níveis 138,2%, 150% e 161,8% são os mais usados em tendências positivas para as projecções de price target de Fibonacci (…).’ »

Citando a parte «a partir de determinada ordem o rácio de um número dividido pelo seu sucessor é de  61,8%», para dar uma explicação possível, escrevi, em comentário:

« A sucessão de Fibonacci é gerada pela seguinte relação de recorrência x_{n+1}=x_{n}+x_{n-1} com as condições iniciais x_{1}=x_{2}=1.  Assim

\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=1+\dfrac{x_{n-1}}{x_{n}}

\lim \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=1+\lim \dfrac{x_{n-1}}{x_{n}}=1+\dfrac{1}{\lim \dfrac{x_{n}}{x_{n-1}}}

Se esta sucessão tiver limite, há-de ser maior do que um (por a sucessão de Fibonacci ser crescente) e satisfazer a relação

l=1+l^{-1}

em que

l=\lim \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=\lim \dfrac{x_{n}}{x_{n-1}}>1

Por isso

l^{2}=l+1

l^{2}-l+1=0

ou

l=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi

e o limite de aproximadamente 61,8\% é o inverso de l :

\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}\approx 0,61803. »

Poderá ver a dedução da fórmula explícita do termo geral da sucessão de Fibonacci nesta minha entrada já antiga.


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O que seria da ciência sem as mulheres?

De um modo geral, a mulher apresenta várias qualidades fundamentais para o desenvolvimento de uma carreira científica bem sucedida. Entre estas destacam-se a imaginação, o espírito criativo, a perseverança, o empenho e o entusiasmo. Estas qualidades tornam a mulher um importante impulsionador da ciência.

Neste dia internacional da mulher, é importante realçar a garra que as caracteriza e que tanto as fez envolver no mundo científico e nas maravilhosas descobertas ao longo dos séculos.

Assim sendo, podemos afirmar que a contribuição da mulher em áreas da ciência como a matemática, a astronomia, a química, a medicina, a agricultura ou a biologia, é já de longa data:

-Há quatro mil anos uma sacerdotisa na Babilónia dedicou-se ao estudo das estrelas, constituindo uma referência importante para os astrónomos e matemáticos que a sucederam.
-O conhecido “banho-Maria” que todos nós usamos diariamente no laboratório, e que contribuiu para o desenvolvimento de muitas áreas da ciência e da indústria, é atribuído a uma química, Maria la Hebrea, que viveu no século I em Alexandria.

Ao longo dos anos foram surgindo também outras referências importantíssimas que tornaram o papel das mulheres na ciência cada vez mais conhecido:

      - Marie Curie (imagem da direita) é sem dúvida o caso mais marcante que culminou com a atribuição de dois prémios Nobel (da física em 1903 juntamente com o seu marido, e da química em 1911, pela descoberta de dois elementos químicos).


- Elizabeth Blackwell foi a primeira mulher 
no mundo a licenciar-se em medicina e, a partir de então, dedicou-se à educação feminina na área da medicina.

- Florence Nightingale: quase se pode dizer que esta senhora inventou a profissão de enfermeira, tendo sempre trabalhado no sentido de estabelecer condições de higiene e segurança nos hospitais militares, numa altura em que era mais frequente os soldados morrerem de infecções do que das próprias lesões de combate.

- Margaret Sangre (imagem à esquerda): depois de verificar, de perto e ao vivo, o sofrimento das mulheres que se viam confrontadas com gravidezes não planeadas e indesejadas, dedicou a sua vida à enfermagem e a ajudar a população feminina a obter informação sobre e medicamentos contraceptivos.


- Rachel Carson: pioneira do movimento ambientalista, esta escritora, cientista, biólogo marinha, ecologista e ambientalista não descansou enquanto não sensibilizou os americanos e o mundo para as questões ambientais. Felizmente, conseguiu.

      - Sally Ride (imagem da direita): foi uma tenista de renome que trocou o desporto pela física, acabando por

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Mulheres na Matemática


UNIVERSO MATEMATICO-7-Mujeres Matematica
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Novo exemplo de demonstração de uma identidade trigonométrica pela introdução de uma variável complexa

Proponho-me demonstrar a seguinte identidade trigonométrica

    2\sin \left( n\alpha \right) \cos \alpha =\sin \left( \left( n+1\right) \alpha \right) +\sin \left( \left( n-1\right) \alpha \right)

pelo método de mudança de variável z=e^{i\alpha } explicado anteriormente nesta entrada.  Assim,

\cos \alpha =\dfrac{1}{2}\left( e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }\right) =\dfrac{1}{2}\left( z+z^{-1}\right)

e, como

\sin \alpha =\dfrac{1}{2i}\left( e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }\right) =\dfrac{1}{2i}\left( z-z^{-1}\right)

vem

\sin \left( n\alpha \right) =\dfrac{1}{2i}\left( e^{in\alpha }-e^{-in\alpha}\right) =\dfrac{1}{2i}\left( z^{n}-z^{-n}\right)

e no primeiro membro

2\sin \left( n\alpha \right) \cos \alpha =2\dfrac{1}{2i}\left( z^{n}-z^{-n}\right) \dfrac{1}{2}\left( z+z^{-1}\right)

=\dfrac{1}{2i}\left( z^{n+1}+z^{n-1}-z^{1-n}-z^{-n-1}\right) .

Quanto ao segundo membro, tem-se

\sin \left( \left( n+1\right) \alpha \right) =\dfrac{1}{2i}\left( e^{i\left( n+1\right) \alpha }-e^{-i\left( n+1\right) \alpha }\right)

=\dfrac{1}{2i}\left( z^{n+1}-z^{-n-1}\right)

e

\sin \left( \left( n-1\right) \alpha \right) =\dfrac{1}{2i}\left( e^{i\left( n-1\right) \alpha }-e^{-i\left( n+1\right) \alpha }\right) =\dfrac{1}{2i}\left( z^{n-1}-z^{-n-1}\right)

pelo que

\sin \left( \left( n+1\right) \alpha \right) +\sin \left( \left( n-1\right) \alpha \right)

=\dfrac{1}{2i}\left( z^{n+1}-z^{-n-1}\right) +\dfrac{1}{2i}\left( z^{n-1}-z^{-n-1}\right) .

Igualando os dois membros, obtém-se portanto:

\dfrac{1}{2i}\left( z^{n+1}+z^{n-1}-z^{1-n}-z^{-n-1}\right)

=\dfrac{1}{2i}\left( z^{n+1}-z^{-n-1}\right) +\dfrac{1}{2i}\left( z^{n-1}-z^{-n-1}\right)

ou a igualdade equivalente

z^{n+1}+z^{n-1}-z^{1-n}-z^{-n-1}=z^{n+1}-z^{-n-1}+z^{n-1}-z^{-n-1}

que é uma identidade, provando-se desta forma a inicial.


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Encontro Nacional da SPM — 8 a 10 Julho 2010 — Leiria

«  A Sociedade Portuguesa de Matemática, SPM, realiza bianualmente um encontro nacional, dirigido a todos os matemáticos portugueses, e todos os que partilham como interesse comum a Matemática, tendo em vista a troca de experiências, de conhecimentos e ideias. Conta também com a participação de personalidades estrangeiras reconhecidas na área da Matemática. O ensino, a investigação e a divulgação da Matemática serão os temas fundamentais que dinamizam o Encontro Nacional do ano de 2010. »

ENSPM2010

 

 


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Manga: o Cálculo

The Manga Guide to Calculus (Excerpt)
encontrado em http://www.scribd.com/doc/18171088/The-Manga-Guide-to-Calculus-ExcerptContinue a ler Manga: o Cálculo

Desafio sobre sequências (sucessões): descobrir o termo geral :: Challenge: Find the general term of a sequence

Qual é o próximo termo da sucessão seguinte? / Which is the next term of the following sequence?

\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{8},\dfrac{3}{16},\dfrac{3}{8},\dots

E o termo de ordem 20? / And its 20^{\text{th }}  term?

[March 7, 2008: Edited to include the English version of the text.]

Adenda/Addendum

Nota: os termos são fracções reduzidas.

Remark: every term of the sequence is a  fraction in its lowest terms.

 


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Problema do mês :: Problem of the month #4

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Enunciado do Problema

Prove ou infirme: \pi =\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos x-\cos 3x}{x^{2}}dx

  • Nota: não se permite a utilização de calculadoras ou computadores. 
  • O prazo limite para apresentar resoluções é 28.03.2010 via email acltavares@sapo.pt ou comentando no blogue.

Problem Statement

Prove or disprove: \pi =\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos x-\cos 3x}{x^{2}}dx.

  • Remark: the use of calculators or computers is not allowed
  • The deadline for submitting solutions is March 28, 2010 either via e-mail acltavares@sapo.pt or comment box.

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“OS INFINITOS” DE BANVILLE

Na secção de livros do "New York Times" de hoje a recensão do último livro de John Banville

THE INFINITIES 273 pp. Alfred A. Knopf. $25.95

começa assim:

"What, if any, is the desirable ­intersection of the finite and the infinite, the mortal and the divine? That’s the question John Banville asks in his latest novel. Or perhaps that metaphysical query is only a bluff. Perhaps what “The Infinities” is really about is how much you can get away with if you’re a genius, a game-changer, a master (literally) of the universe."

Para mais ler aqui.Continue a ler “OS INFINITOS” DE BANVILLE
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