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Razão entre dois termos sucessivos da sucessão (ou sequência) de Fibonacci; relação com os mercados financeiros

No artigo de Arsélio Martins, Média e extrema razão e número de ouro – comentário à margem, de 2.03.10, do GEOMETRIA, cita-se uma passagem de um «texto de um boletim de um banco português», dos analistas de acções Ramiro Loureiro e Sónia Martins, que transcrevo em parte:

« ‘Na sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …), em que um algarismo é dado pela soma dos dois anteriores, a partir de determinada ordem o rácio de um número dividido pelo seu sucessor é de 61,8%. Este nível, juntamente com o 38,2% (100%-61,8%=38,2%), e o 50%, são chamados de níveis de correcção de Fibonacci. O de 61,8% é tido em conta nas correcções fortes de mercado, enquanto o de 38,2% para correcções mais fracas. Consequentemente, o rácio da divisão de um número na sequência de Fibonacci pelo seu antecessor é 161,8%, logo os níveis 138,2%, 150% e 161,8% são os mais usados em tendências positivas para as projecções de price target de Fibonacci (…).’ »

Citando a parte «a partir de determinada ordem o rácio de um número dividido pelo seu sucessor é de 61,8%», para dar uma explicação possível, escrevi, em comentário:

« A sucessão de Fibonacci é gerada pela seguinte relação de recorrência $x_{n+1}=x_{n}+x_{n-1}$ com as condições iniciais $x_{1}=x_{2}=1$ . Assim

$\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=1+\dfrac{x_{n-1}}{x_{n}}$

$\lim \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=1+\lim \dfrac{x_{n-1}}{x_{n}}=1+\dfrac{1}{\lim \dfrac{x_{n}}{x_{n-1}}}$

Se esta sucessão tiver limite, há-de ser maior do que um (por a sucessão de Fibonacci ser crescente) e satisfazer a relação

$l=1+l^{-1}$

em que

$l=\lim \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=\lim \dfrac{x_{n}}{x_{n-1}}>1$

Por isso

$l^{2}=l+1$

$l^{2}-l+1=0$

$l=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi$

e o limite de aproximadamente $61,8\%$ é o inverso de $l$ :

$\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}\approx 0,61803$ . »

Poderá ver a dedução da fórmula explícita do termo geral da sucessão de Fibonacci nesta minha entrada já antiga.

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Américo Tavares @ problemas | teoremas Categorias: Ciência Geral, Demonstração, Matemática, Prova, Recorrência, fibonacci, sequências, sucessões

O que seria da ciência sem as mulheres?

De um modo geral, a mulher apresenta várias qualidades fundamentais para o desenvolvimento de uma carreira científica bem sucedida. Entre estas destacam-se a imaginação, o espírito criativo, a perseverança, o empenho e o entusiasmo. Estas qualidades tornam a mulher um importante impulsionador da ciência.

Neste dia internacional da mulher, é importante realçar a garra que as caracteriza e que tanto as fez envolver no mundo científico e nas maravilhosas descobertas ao longo dos séculos.

Assim sendo, podemos afirmar que a contribuição da mulher em áreas da ciência como a matemática, a astronomia, a química, a medicina, a agricultura ou a biologia, é já de longa data:

-Há quatro mil anos uma sacerdotisa na Babilónia dedicou-se ao estudo das estrelas, constituindo uma referência importante para os astrónomos e matemáticos que a sucederam.
-O conhecido “banho-Maria” que todos nós usamos diariamente no laboratório, e que contribuiu para o desenvolvimento de muitas áreas da ciência e da indústria, é atribuído a uma química, Maria la Hebrea, que viveu no século I em Alexandria.

Ao longo dos anos foram surgindo também outras referências importantíssimas que tornaram o papel das mulheres na ciência cada vez mais conhecido:

- Marie Curie (imagem da direita) é sem dúvida o caso mais marcante que culminou com a atribuição de dois prémios Nobel (da física em 1903 juntamente com o seu marido, e da química em 1911, pela descoberta de dois elementos químicos).

- Elizabeth Blackwell foi a primeira mulher
no mundo a licenciar-se em medicina e, a partir de então, dedicou-se à educação feminina na área da medicina.

- Florence Nightingale: quase se pode dizer que esta senhora inventou a profissão de enfermeira, tendo sempre trabalhado no sentido de estabelecer condições de higiene e segurança nos hospitais militares, numa altura em que era mais frequente os soldados morrerem de infecções do que das próprias lesões de combate.

- Margaret Sangre (imagem à esquerda): depois de verificar, de perto e ao vivo, o sofrimento das mulheres que se viam confrontadas com gravidezes não planeadas e indesejadas, dedicou a sua vida à enfermagem e a ajudar a população feminina a obter informação sobre e medicamentos contraceptivos.

- Rachel Carson: pioneira do movimento ambientalista, esta escritora, cientista, biólogo marinha, ecologista e ambientalista não descansou enquanto não sensibilizou os americanos e o mundo para as questões ambientais. Felizmente, conseguiu.

- Sally Ride (imagem da direita): foi uma tenista de renome que trocou o desporto pela física, acabando por

…

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Ciência e Saúde XXI Categorias: Astronomia, Biologia, Ciência, Ciência Geral, Curiosidades, Matemática, Medicina, Química, agricultura, banho-Maria, mulher

Mulheres na Matemática

UNIVERSO MATEMATICO-7-Mujeres Matematica
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Mjosé Vaz da Costa @ Assim como assim Categorias: Ciência Geral, Matemática, Video

Novo exemplo de demonstração de uma identidade trigonométrica pela introdução de uma variável complexa

Proponho-me demonstrar a seguinte identidade trigonométrica

$2\sin \left( n\alpha \right) \cos \alpha =\sin \left( \left( n+1\right) \alpha \right) +\sin \left( \left( n-1\right) \alpha \right)$

pelo método de mudança de variável $z=e^{i\alpha }$ explicado anteriormente nesta entrada. Assim,

$\cos \alpha =\dfrac{1}{2}\left( e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }\right) =\dfrac{1}{2}\left( z+z^{-1}\right)$

e, como

$\sin \alpha =\dfrac{1}{2i}\left( e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }\right) =\dfrac{1}{2i}\left( z-z^{-1}\right)$

vem

$\sin \left( n\alpha \right) =\dfrac{1}{2i}\left( e^{in\alpha }-e^{-in\alpha}\right) =\dfrac{1}{2i}\left( z^{n}-z^{-n}\right)$

e no primeiro membro

$2\sin \left( n\alpha \right) \cos \alpha =2\dfrac{1}{2i}\left( z^{n}-z^{-n}\right) \dfrac{1}{2}\left( z+z^{-1}\right)$

$=\dfrac{1}{2i}\left( z^{n+1}+z^{n-1}-z^{1-n}-z^{-n-1}\right)$ .

Quanto ao segundo membro, tem-se

$\sin \left( \left( n+1\right) \alpha \right) =\dfrac{1}{2i}\left( e^{i\left( n+1\right) \alpha }-e^{-i\left( n+1\right) \alpha }\right)$

$=\dfrac{1}{2i}\left( z^{n+1}-z^{-n-1}\right)$

$\sin \left( \left( n-1\right) \alpha \right) =\dfrac{1}{2i}\left( e^{i\left( n-1\right) \alpha }-e^{-i\left( n+1\right) \alpha }\right) =\dfrac{1}{2i}\left( z^{n-1}-z^{-n-1}\right)$

pelo que

$\sin \left( \left( n+1\right) \alpha \right) +\sin \left( \left( n-1\right) \alpha \right)$

$=\dfrac{1}{2i}\left( z^{n+1}-z^{-n-1}\right) +\dfrac{1}{2i}\left( z^{n-1}-z^{-n-1}\right)$ .

Igualando os dois membros, obtém-se portanto:

$\dfrac{1}{2i}\left( z^{n+1}+z^{n-1}-z^{1-n}-z^{-n-1}\right)$

$=\dfrac{1}{2i}\left( z^{n+1}-z^{-n-1}\right) +\dfrac{1}{2i}\left( z^{n-1}-z^{-n-1}\right)$

ou a igualdade equivalente

$z^{n+1}+z^{n-1}-z^{1-n}-z^{-n-1}=z^{n+1}-z^{-n-1}+z^{n-1}-z^{-n-1}$

que é uma identidade, provando-se desta forma a inicial.

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Américo Tavares @ problemas | teoremas Categorias: Análise Complexa, Ciência Geral, Demonstração, Exercício, Exercícios, Identidade matemática, Matemática, Matemáticas Gerais, Prova, Trigonometria, calculo

Encontro Nacional da SPM — 8 a 10 Julho 2010 — Leiria

« A Sociedade Portuguesa de Matemática, SPM, realiza bianualmente um encontro nacional, dirigido a todos os matemáticos portugueses, e todos os que partilham como interesse comum a Matemática, tendo em vista a troca de experiências, de conhecimentos e ideias. Conta também com a participação de personalidades estrangeiras reconhecidas na área da Matemática. O ensino, a investigação e a divulgação da Matemática serão os temas fundamentais que dinamizam o Encontro Nacional do ano de 2010. »

ENSPM2010

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Américo Tavares @ problemas | teoremas Categorias: Ciência Geral, Divulgação, Matemática, Notícia

Manga: o Cálculo

The Manga Guide to Calculus (Excerpt)
encontrado em http://www.scribd.com/doc/18171088/The-Manga-Guide-to-Calculus-ExcerptContinue a ler Manga: o Cálculo

Mjosé Vaz da Costa @ Assim como assim Categorias: BD, Ciência Geral, Matemática

Desafio sobre sequências (sucessões): descobrir o termo geral :: Challenge: Find the general term of a sequence

Qual é o próximo termo da sucessão seguinte? / Which is the next term of the following sequence?

$\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{8},\dfrac{3}{16},\dfrac{3}{8},\dots$

E o termo de ordem $20$ ? / And its $20^{\text{th }}$ term?

[March 7, 2008: Edited to include the English version of the text.]

Adenda/Addendum

Nota: os termos são fracções reduzidas.

Remark: every term of the sequence is a fraction in its lowest terms.

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Américo Tavares @ problemas | teoremas Categorias: Ciência Geral, Desafio, Enigma, Matemática, Matemática-Básico, Matemática-secundário, math, sequências, sucessões

Problema do mês :: Problem of the month #4

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Enunciado do Problema

Prove ou infirme: $\pi =\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos x-\cos 3x}{x^{2}}dx$

Nota: não se permite a utilização de calculadoras ou computadores.
O prazo limite para apresentar resoluções é 28.03.2010 via email acltavares@sapo.pt ou comentando no blogue.

Problem Statement

Prove or disprove: $\pi =\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos x-\cos 3x}{x^{2}}dx$ .

Remark: the use of calculators or computers is not allowed.
The deadline for submitting solutions is March 28, 2010 either via e-mail acltavares@sapo.pt or comment box.

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Américo Tavares @ problemas | teoremas Categorias: Ciência Geral, Matemática, Problem, Problem Of The Month, Problema do mês, math, problema

“OS INFINITOS” DE BANVILLE

Na secção de livros do "New York Times" de hoje a recensão do último livro de John Banville

THE INFINITIES 273 pp. Alfred A. Knopf. $25.95

começa assim:

"What, if any, is the desirable intersection of the finite and the infinite, the mortal and the divine? That’s the question John Banville asks in his latest novel. Or perhaps that metaphysical query is only a bluff. Perhaps what “The Infinities” is really about is how much you can get away with if you’re a genius, a game-changer, a master (literally) of the universe."

Para mais ler aqui.Continue a ler “OS INFINITOS” DE BANVILLE

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